Анализ разности функций вероятности

[Vector]

Source of the post
То, что функция монотонно возрастающая, не означает, что будет иметь только один максимум. Пример: для .

Source of the post
По новой формулировке не зависит от и оно строго больше нуля и строго меньше единицы. Поэтому равномерное распределение в этом случае не контрпример.

Но ведь , по вашей формулировке, это произвольное число, для которого должно быть выполнено то, что дальше по тексту. По тексту звучит так, что я могу взять произвольное число больше нуля и меньше единицы, и для него обязательно найдутся нужные точки. Условия указаны до этого. В этом случае контрпример вполне законен. Выразите условия точнее.

А если забыть про максимум и потребовать от функции вероятности строгой монотонности, будет ли тогда формулировка из пятого поста справедливой? Внизу её продублирую в изменённом виде:

Пусть ,

где - строго возрастающая функция вероятности абсолютно непрерывного распределения, .

Тогда для любого всегда найдутся такие две точки и , , что , причём эти точки единственные?

[Dragon27]

Source of the post
Тогда для любого

Ну измените вы это. Я возьму маленький шаг и уже не будет точки , для которой равно числу, близкому к единице.

А строгая монотонность функции распределения вероятности не панацея

(да и та функция, впрочем, была строго монотонна, просто точки перегиба были)

[Vector]

Source of the post

Source of the post
Тогда для любого

Ну измените вы это. Я возьму маленький шаг и уже не будет точки , для которой равно числу, близкому к единице.

А строгая монотонность функции распределения вероятности не панацея

(да и та функция, впрочем, была строго монотонна, просто точки перегиба были)

Тогда хоть можно утверждать, что такие разные точки найдутся, но они неуникальные?
Похоже тогда, ещё нужно требовать функций распределения вероятностей с одномодальной плотностью.

[Dragon27]

Шаг можно сделать таким маленьким, что эта функция будет визуально неотличима от нуля

Ну то, что непрерывная функция, изменяющаяся от нуля слева до нуля справа, будет хотя бы два раза иметь значения произвольного числа, которое больше нуля и меньше максимума функции (который не обязательно равен единице) - это очевидно. Оно хотя бы один раз встретится слева от максимума (он может быть и не в одной точке), и хотя бы один раз справа.

Source of the post Похоже тогда, ещё нужно требовать функций распределения вероятностей с одномодальной плотностью

А вот что это такое - я не знаю

[Vector]

Source of the post
Шаг можно сделать таким маленьким, что эта функция будет визуально неотличима от нуля

Ну то, что непрерывная функция, изменяющаяся от нуля слева до нуля справа, будет хотя бы два раза иметь значения произвольного числа, которое больше нуля и меньше максимума функции (который не обязательно равен единице) - это очевидно. Оно хотя бы один раз встретится слева от максимума (он может быть и не в одной точке), и хотя бы один раз справа.

Source of the post Похоже тогда, ещё нужно требовать функций распределения вероятностей с одномодальной плотностью

А вот что это такое - я не знаю

Хоть, что-то уже выяснили. Всё-таки мне кажется можно ограничится какими-нибудь классами распределений, для которых те условия выполнимы.
Одномодальные - это плотности, у которых одна мода (один локальный максимум).

[Dragon27]

Source of the post Одномодальные - это плотности, у которых одна мода (один локальный максимум).

Ну вот смотри на график плотности . Если сместить его относительно себя на (по условию, влево), то он может пересечься сам с собой, со своим несмещённым вариантом, в какой-то точке. В это точке, ясное дело, будет равна нулю, а так как , то в этой точке будет экстремум , или перегиб, зависит от поведения возле этой точки.