обратный оператор

inferno1993 · Сообщение **inferno1993** » 04 июл 2012, 16:21

В пространстве $$L_2[0,1]$$

рассмотрим оператор $Ax(t)=\frac {d^2x} {dt^2}$ с областью определения D(A) , состоящей из дважды непрерывно дифференцируемых функций x(t) , удовлетворяющих граничным условиям x(0)=x(1)=0 . Доказать, что оператор $A^{-1}$ существует, найти его и доказать, что он вполне непрерывен.

Подскажите пожалуйста как это делать. Я так понимаю, чтобы обратный оператор существовал - должно решаться уравнение Ax=y, но ведь так как область определения состоит из дважды дифференцируемых функций, то оно по идее всегда имеет решение.

da67 · Сообщение **da67** » 04 июл 2012, 16:28

Посмотрите в теории про сведение самомопряжённой задачи к интегральному уравнению (через функцию Грина). Возможно, это именно то, что от вас хотят.

inferno1993 · Сообщение **inferno1993** » 04 июл 2012, 16:32

Я так понимаю, что обратный оператор существует, если уравнение Ax=0 имеет только тривиальное решение. то есть x(t) должно иметь вид a*t+b, но исходя из начальных условий получаем, что a=b=0.
Я правильно рассуждаю?

da67 писал(а):Source of the post
Посмотрите в теории про сведение самомопряжённой задачи к интегральному уравнению (через функцию Грина). Возможно, это именно то, что от вас хотят.

Вот как раз нормально свести к интегральному виду и не выходит у меня, существование я вроде доказал, а вот как его найти - не пойму(

da67 · Сообщение **da67** » 04 июл 2012, 17:11

inferno1993 писал(а):Source of the post Я так понимаю, что обратный оператор существует, если уравнение Ax=0 имеет только тривиальное решение. то есть x(t) должно иметь вид a*t+b, но исходя из начальных условий получаем, что a=b=0.
Я правильно рассуждаю?

Наверное да. Ваше рассуждение доказывает единственность решения, а нужно ещё существование. Наверное там есть какая-нибудь теорема на этот счёт, таких деталей я уже не помню. Существование, впрочем, достаточно очевидно

Вот как раз нормально свести к интегральному виду и не выходит у меня, существование я вроде доказал, а вот как его найти - не пойму(

Это можно переписать из книжки, но идея там простая. Вспомните предыдущую задачу. Если нужно решение задачи $$x''=f$$

с краевыми условиями, то склеим из двух отрезков ядро $$K$$

так, чтобы само оно было непрерывно, а производная в точке излома менялась ровно на единицу. Тогда при вычислении второй производной от интеграла
$\displaystyle \int K(t,s)f(t)dt$
получится как раз $$f(s)$$

от вылезающего в точке разрыва члена.

homosapiens · Сообщение **homosapiens** » 04 июл 2012, 17:18

da67 · Сообщение **da67** » 04 июл 2012, 17:20

homosapiens писал(а):Source of the post
da67 писал(а):Source of the post от вылезающего в точке разрыва члена
Поручик не мог не пройти мимо, чорт возьми!

inferno1993 · Сообщение **inferno1993** » 04 июл 2012, 17:20

По поводу существования: [url=http://de.ifmo.ru/--books/0051/6/6_5/652_obop_1.htm]http://de.ifmo.ru/--books/0051/6/6_5/652_obop_1.htm[/url] там сказано, что если уравнение Ax=y имеет единственное решение, то существует обратный оператор.

А по поводу нахождения обратного - да, я понял что его форма будет выглядеть так, так как недавно решал задачу с ядром,имеющим точку разрыва, и там получалось как раз такое диф уравнение. но вот как найти само ядро - мне непонятно. Тем более, что оно вроде должно иметь точку разрыва

da67 · Сообщение **da67** » 04 июл 2012, 17:25

inferno1993 писал(а):Source of the post По поводу существования: [url=http://de.ifmo.ru/--books/0051/6/6_5/652_obop_1.htm]http://de.ifmo.ru/--books/0051/6/6_5/652_obop_1.htm[/url] там сказано, что если уравнение Ax=y имеет единственное решение, то существует обратный оператор.

Тогда для полноты надо бы докозать, что решение существует.

Ядро непрерывно, разрывна производная.
Берёте $$K(s,t)=at$$

при

и

при

.
Подгоняете $$a$$

и

так, чтобы функция получилась непрерывной и имела единичный скачок производной в изломе.

inferno1993 · Сообщение **inferno1993** » 04 июл 2012, 17:29

ну там же как раз и сказано(теорема1) что если уравнение Ax=0 имеет тривиальное решение,то Ax=y разрешимо

ага, понятно, а обосновать как нибудь такой выбор ядра можно?

da67 · Сообщение **da67** » 04 июл 2012, 17:38

Так тупо дифференцированием проверяется, что интеграл $x(s)=\int K(s,t)f(t)dt$ будет решением уравнения $$x''=f$$

с нужными условиями.
А вообще это всё теория. Такое ядро называется функцией Грина. Можно сослать на какой-нибудь учебник.

yourdomain.com