Замечательные пределы

BIOSonar · Сообщение **BIOSonar** » 23 окт 2011, 18:18

Здравствуйте. Никак не могу продвинуться в решении примера.
$\lim \limits_{x \to 0} {}\frac {ctg(x )*(1-cos^2 (3x))} {x^2 + 5x}$
Ставлю sin^2(3x). ctg делаю как cos(x)/sin(x). Но это ничего не дает.
Помогите пожалуйста решить данный предел. В mathcad ответ 0 получился.

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 23 окт 2011, 18:24

[url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_%...8x%5E2%2B5*x%29]http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_%...8x%5E2%2B5*x%29[/url]

BIOSonar · Сообщение **BIOSonar** » 23 окт 2011, 18:47

Спасибо . Но...
Исходя из нашей программы решать так мы не должны были. Мы должны были применить какую-то тригонометрическую формулу, чтобы упростить подлогарифмическое выражение либо привести какой то сомножитель в виде первого замечательного предела. Подскажите, пожалуйста, какую формулу можно использовать?

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 23 окт 2011, 18:54

Сами же написали - замечательные пределы. Вот первый из них и используйте. Катангенс через синус и косинус представить, косинус потом можно выкинуть. Останутся одни синусы и к ним применить 1-й замечательный предел.

4 8 15... · Сообщение **4 8 15...** » 23 окт 2011, 18:58

BIOSonar писал(а):Source of the post
Здравствуйте. Никак не могу продвинуться в решении примера.
$\lim \limits_{x \to 0} {}\frac {ctg(x )*(1-cos^2 (3x))} {x^2 + 5x}$
Ставлю sin^2(3x). ctg делаю как cos(x)/sin(x). Но это ничего не дает.
Помогите пожалуйста решить данный предел. В mathcad ответ 0 получился.

Через Тейлора делайте, обращая в числителе и знаменателе внимание лишь на наименьшие степени х (вот Вам, кстати, и замечательные пределы). А ответ не 0.
[url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_{x-%3E0}+\dfrac{ctg(x)*sin(3x)*sin(3x)}{x*x%2B5x}][url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_{...(3x)}{x*x%2B5x}]http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_{...(3x)}{x*x%2B5x}[/url][/url]

СергейП

BIOSonar писал(а):Source of the post Подскажите, пожалуйста, какую формулу можно использовать?

Так а в чём проблема, если почти всё в 1-ом посте есть.
Конечно, вот это враньё

BIOSonar писал(а):Source of the post В mathcad ответ 0 получился.

$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} {}\frac {\ctg(x ) \cdot (1-\cos^2 (3x))} {x^2 + 5x}=\lim_{x \to 0} \frac {\cos x \cdot \sin^2 (3x)} {x(x + 5)\sin x }=...$
и дальше домножить числитель и знаменатель на ...
На что?

folk · Сообщение **folk** » 23 окт 2011, 20:56

sin(3x)=3sin(x)-4sin(x)^3
сократите на sin(x)
получите 9/5

СергейП

folk писал(а):Source of the post sin(3x)=3sin(x)-4sin(x)^3
сократите на sin(x)
получите 9/5

Зачем эти страсти?
Я же уже почти всё написал

$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} {}\frac {\ctg(x ) \cdot (1-\cos^2 (3x))} {x^2 + 5x}=\lim_{x \to 0} \frac {\cos x \cdot \sin^2 (3x)} {x(x + 5)\sin x }=\lim_{x \to 0} \frac {9x \cos x \cdot \sin^2 (3x)} {9x^2(x + 5)\sin x }=$
$\displaystyle =\lim_{x \to 0} \frac {\sin^2 (3x)} {(3x)^2 }\cdot \frac {x } {\sin x }\cdot \frac {9 \cos x } {x + 5}=...$

BIOSonar · Сообщение **BIOSonar** » 24 окт 2011, 14:48

Спасибо. Думал на неизвестную (9x) нельзя домножать. Ан вот можно.

yourdomain.com