дифференцирование уравнения?

[fore]

Добрый вечер. Хотел c вашей помощью прояснить такие несложные моменты:
1. дифференцирование/интегрирование уравнения (или равенства) - корректно ли такое словосочетание?
2. дифференцирование частей уравнения (буду говорить аккуратно пока) во многих случаях выглядит логично, и этим в математике я и преподаватели неоднократно пользовались.
Однако: почему мы можем это делать? Возможно, это также просто как и => , но для меня пока не очевидно.

Некоторые примеры:
=> . Получилось дифференциальное уравнение, решением которого в частности является траектория, задаваемая исходным уравнением. Здесь я, понятное дело, подразумевал под некоторую функцию от

=> ... Это верно?

Теперь, скажем, есть у нас такая же запись, в которой однако под понимаем числа (не функции).
и применить интегрирование по я не могу.
явно бредовая запись

Чего прошу: ответить на оба вопроса, прокомментировать примеры, и в идеале хотел бы для себя специфицировать условия, при которых применения знака интеграла/дифференциала c обоих сторон и дифференцирование вообще корректно!

[vicvolf]

Source of the post
Некоторые примеры:
=> . Получилось дифференциальное уравнение, решением которого в частности является траектория, задаваемая исходным уравнением. Здесь я, понятное дело, подразумевал под некоторую функцию от допустим

Слева находится квадратное уравнения от y, как независимой переменной решением которого являются постоянные. Справа находится диф ур-ие, где у уже является функцией и ищется решения в виде семества первообразных(функций от y). Таким образом слева и справа стоят уравнения по сути различные!

Source of the post
=> ... Это верно?

Нет это не верно! Слева опять квадратное уравнение от независимой переменной. решением которого постоянные значения, a справа интеграл по другой переменной, для которой подинтегральное функция суть постояная, поэтому решением его будет

[senior51]

Чтобы прокоментировать ваши записи нужно подружится c МатАнализом, но я как понял вы c ним потеряли дружбу;
1. B общем случае можно интег. и дифф. левую и правую части равенства, если введено определение непрерывности функций и тд;
2.Что это за у ,и не функция , a только числа. Вот это и явилость поводом напомнить вам o дружбе c Анализом.

[СергейП]

Source of the post Чтобы прокоментировать ваши записи нужно подружится c МатАнализом, но я как понял вы c ним потеряли дружбу;

Полностью поддерживаю.
Например

Source of the post Некоторые примеры:
=> . Получилось дифференциальное уравнение, решением которого в частности является траектория, задаваемая исходным уравнением. Здесь я, понятное дело, подразумевал под некоторую функцию от допустим

Если подразумевать под функцию от некоторой независимой переменной (без допустим), то
=> и все решения первого уравнения являются решениями и второго, но во 2-ом появились еще и другие, посторонние решения.

[fore]

Хорошо, я обозначил конкретнее в первом сообщении, где функции, стер числа, поставил производную (ошибся, но не в этом суть), убрал "допустим"...
Из того что приближало мое понимание написали только вот это:

B общем случае можно интег. и дифф. левую и правую части равенства, если введено определение непрерывности функций и тд;

B каком учебнике это прочитать можно (c указанием страницы, плз)?

ПО поводу дифференцирования/интегрирования уравнений, в которых в качестве неизвестных выступают числа - я так понимаю можно так объяснить: оператор интегрирования и оператор дифференцирования определены на функциях, a не на числах, поэтому применение их в 3-м примере некорректно

[vicvolf]

Функция имеет производную в точке, если эта производная в точке существует и конечна. Одной непрерывности функции для этого не достаточно.
Зато каждая непрерывная функция имеет первообразную, т.e непрерывности функции достаточно, чтобы существовал неопределенный интеграл данной функции.
При указанных условиях можно дифференцировать и интегрировать обе части равенства, но это не эквивалентные преобразования. Поэтому, если Вы будите выполнять эти операции c уравнениями, то решение исходного уравнения и полученного в общем случае не идентичны.

Source of the post
ПО поводу дифференцирования/интегрирования уравнений, в которых в качестве неизвестных выступают числа - я так понимаю можно так объяснить: оператор интегрирования и оператор дифференцирования определены на функциях, a не на числах, поэтому применение их в 3-м примере некорректно

Почему же. Существует производная постоянной-она равна 0. Неопределенный интеграл от постоянной A по переменной х равен Ах+C, где C - постоянная интегрирования.

[fore]

Виктор, первая часть вашего хорошо написана, спасибо. A вторая не совсем в тему, на мой взгляд. Если у нас есть уравнение, то в качестве неизвестных там не обязательно выступает функция - простой факт.

[Hottabych]

Дифференцировать можно тождества. При этом опять получим тождества.
Уравнения дифференцировать можно, но полученное в результате выражение не будет иметь смысла.

[fore]

Source of the post но полученное в результате выражение не будет иметь смысла.

Почему?

[laplas]

fore, потому, что уравнение, например, ваше , оно же не тождественно, оно имеет как минимум 2 решения, т.e. 2 точки где равенство нулю выполняется, a дифференцировать/интегрировать можно тождества, выражения, которые равны на каком то отрезке ( a , b ) в любой точке