Немного интегралов

Securus · Сообщение **Securus** » 29 сен 2010, 22:37

Я сейчас развлекаюсь c интегралами и у меня время от времени возникают вопросы. Вот один из них:

$\int_{}^{}{\frac {1} {(1+x^2)^{3/2}}dx}$

Есть ли более простой метод решения, чем замена

$x=tg\alpha$ ?

Заранее спасибо.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 29 сен 2010, 22:54

Выражения, похожие на теорему Пифагора, $$x^2+1$$

, $\sqrt{1-x^2}$ - всегда намёк на тригонометрические или гиперболические функции. Решение через них наиболее просто и естественно.

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 29 сен 2010, 22:54

Думаю, что проще нет. A чем Вам такая замена не понравилась? Там только применить связи между тригонометрическими функциями одного аргумента, и ничего больше.

Securus · Сообщение **Securus** » 29 сен 2010, 23:02

Просто показалось, что я не заметил чего-то проще(как часто бывает).

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 29 сен 2010, 23:23

B принципе, любую тригонометрию и гиперболику можно переписать в терминах экспоненты и логарифма, и думать, что при решении они не используются Ho возни тут больше, a интуитивной прозрачности меньше.

Securus · Сообщение **Securus** » 29 сен 2010, 23:51

Вот ещё один интеграл, который меня смущает:
$\int_{}^{}{\frac {1} {sin^2xcosx}dx}$ .

YURI · Сообщение **YURI** » 30 сен 2010, 00:07

Домножьте на косинус и его же занесите под знак дифференциала.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 30 сен 2010, 00:11

Забавно. Здесь тригонометрия, наоборот, вымышленная.

Securus · Сообщение **Securus** » 30 сен 2010, 00:26

Спасибо.

Alexdemath · Сообщение **Alexdemath** » 01 окт 2010, 18:37

Securus писал(а):Source of the post
Я сейчас развлекаюсь c интегралами и у меня время от времени возникают вопросы. Вот один из них:

$\int_{}^{}{\frac {1} {(1+x^2)^{3/2}}dx}$

Есть ли более простой метод решения, чем замена

$x=tg\alpha$ ?

Заранее спасибо.

Преобразуйте интеграл к $\displaystyle{\int\frac{x^{-3}\,dx}{(x^{-2}+1)^{3/2}}}$
и сделайте замену $\displaystyle{x^{-2}+1=t^2}$ .

yourdomain.com