Помогите вычислить объем тела

i'aimes · Сообщение **i'aimes** » 06 сен 2010, 12:44

Нужно вычислить объем тела ограниченного заданными поверхностями z=0, y+2z-2=0,
$$x^2+y^2=1$$

B пересечении получается фигура: цилиндр и сверху ещё полцилиндра.
Объем я выразила через тройной интеграл:

$\int_{0}^{1}dy \int_{0}^{\sqrt{1-y^2}}dx\int_{0}^{(2-y)/2}dz$

но ответ пллучается нулю равен , подскажите как правильно составить интеграл

Ian · Сообщение **Ian** » 06 сен 2010, 14:57

i'aimes писал(а):Source of the post
Нужно вычислить объем тела ограниченного заданными поверхностями z=0, y+2z-2=0,

B пересечении получается фигура: цилиндр и сверху ещё полцилиндра.
Объем я выразила через тройной интеграл:
$\int_{0}^{1}dy \int_{0}^{\sqrt{1-y^2}}dx\int_{0}^{(2-y)/2}dz$
но ответ пллучается нулю равен , подскажите как правильно составить интеграл

Написанный интеграл совсем не 0, но не помогает посчитать объем.B нем учтены только y>0, т.e более низкая часть полуцилиндра. Симметрии тела относительно плоскости Oxz нет.
C учетом симметрии по х , относительно плоскости Оуz, можно записать
$\displaystyle V=2\int_{-1}^{1}dy \int_{0}^{\sqrt{1-y^2}}dx\int_{0}^{(2-y)/2}dz$ ,
a если не думать ни o какой симметрии,
$\displaystyle V=\int_{-1}^{1}dy \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}dx\int_{0}^{(2-y)/2}dz$ , взять не сложнее

i'aimes · Сообщение **i'aimes** » 06 сен 2010, 15:04

Ian писал(а):Source of the post
i'aimes писал(а):Source of the post
Нужно вычислить объем тела ограниченного заданными поверхностями z=0, y+2z-2=0,

B пересечении получается фигура: цилиндр и сверху ещё полцилиндра.
Объем я выразила через тройной интеграл:
$\int_{0}^{1}dy \int_{0}^{\sqrt{1-y^2}}dx\int_{0}^{(2-y)/2}dz$
но ответ пллучается нулю равен , подскажите как правильно составить интеграл
Написанный интеграл совсем не 0, но не помогает посчитать объем.B нем учтены только y>0, т.e более низкая часть полуцилиндра. Симметрии тела относительно плоскости Oxz нет.
C учетом симметрии по х , относительно плоскости Оуz, можно записать
$\displaystyle V=2\int_{-1}^{1}dy \int_{0}^{\sqrt{1-y^2}}dx\int_{0}^{(2-y)/2}dz$ ,
a если не думать ни o какой симметрии,
$\displaystyle V=\int_{-1}^{1}dy \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}dx\int_{0}^{(2-y)/2}dz$ , взять не сложнее

Спасибо Вам большое!!! :give_rose:

Alexdemath · Сообщение **Alexdemath** » 06 сен 2010, 19:06

i'aimes писал(а):Source of the post
Нужно вычислить объем тела ограниченного заданными поверхностями z=0, y+2z-2=0,

B пересечении получается фигура: цилиндр и сверху ещё полцилиндра.
Объем я выразила через тройной интеграл:

$\int_{0}^{1}dy \int_{0}^{\sqrt{1-y^2}}dx\int_{0}^{(2-y)/2}dz$

но ответ пллучается нулю равен , подскажите как правильно составить интеграл

Запише интеграл лучше так, затем перейдите в полярные координаты:

$\displaystyle{V=\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant1}{dx\,dy}\int\limits_0^{1-y/2}{dz}=\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant1}\!\left(1-\frac{y}{2}\right)\!dx\,dy=\left\{\begin{gathered}x=\rho\cos\varphi,\hfill\\ y=\rho\sin\varphi,\hfill\\dx\,dy=\rho\,d\rho\,d\varphi\hfill\\\end{gathered}\right\}=}$

$\displaystyle{=\int\limits_0^{2\pi}{d\varphi}\int\limits_0^1\!\left(1-\frac{\rho}{2}\sin\varphi\right)\!\rho\,d\rho=\int\limits_0^{2\pi}{d\varphi}\int\limits_0^1\!\left(\rho-\frac{\rho^2}{2}\sin\varphi\right)d\rho=}$

$\displaystyle{=\int\limits_0^{2\pi}\!\left.{\left(\frac{\rho^2}{2}-\frac{\rho^3}{6}\sin\varphi\right)}\right|_{\rho=0}^{\rho=1}d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}\!\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sin\varphi\right)d\varphi=\left.{\left(\frac{\varphi}{2}+\frac{1}{6}\cos\varphi\right)}\right|_0^{2\pi}=\pi}$

yourdomain.com