Ряд Лорана

i'aimes · Сообщение **i'aimes** » 18 май 2010, 10:05

Помогите разложить в ряд Лорана в окрестности точки z0=i

$f(z)=\frac {1} {(z^2+1)^2}$
Нужно может как то дробь на простейшие разложить, но у меня не получается(
Может по этой формуле нужно???:

$\frac {1} {(z^2+1)^2}=1-2z^2+3z^4-...$
Тогда:

$\frac {1} {(z^2+1)^2}=1-2(z-i)^2+3(z-i)^4-...$

Область сходимости здесь какая?

Ian · Сообщение **Ian** » 18 май 2010, 16:01

i'aimes писал(а):Source of the post
Помогите разложить в ряд Лорана в окрестности точки z0=i

$f(z)=\frac {1} {(z^2+1)^2}$
Нужно может как то дробь на простейшие разложить, но у меня не получается(

Боюсь что удаленные из цитаты формулы неверны. Подбором нашел:
1. $\frac 1{z^2+1}=\frac 1{(z-i)(z+i)}=\frac{0,5i}{z+i}-\frac{0,5i}{z-i}$
2. Теперь возводите квадрат разности. C квадратами дробей пока ничего не делать, a произведение снова в сумму по формуле 1.
3.Обозначьте $$w=z-i$$

Два из слагаемых,содержащие $w^{-1}$ и $w^{-2}$ -уже готовые члены ряда Лорана. $0,25(w+2i)^{-2}$ выписать по формуле ряда Тейлора для степенной функции от $\frac w{2i}$ . Минус первую степень на выбор- или по этой же формуле,или по формуле для суммы бесконечной прогрессии.
4.Ну и упростить.

i'aimes · Сообщение **i'aimes** » 18 май 2010, 19:14

Ian писал(а):Source of the post
i'aimes писал(а):Source of the post
Помогите разложить в ряд Лорана в окрестности точки z0=i

$f(z)=\frac {1} {(z^2+1)^2}$
Нужно может как то дробь на простейшие разложить, но у меня не получается(
Боюсь что удаленные из цитаты формулы неверны. Подбором нашел:
1. $\frac 1{z^2+1}=\frac 1{(z-i)(z+i)}=\frac{0,5i}{z+i}-\frac{0,5i}{z-i}$
2. Теперь возводите квадрат разности. C квадратами дробей пока ничего не делать, a произведение снова в сумму по формуле 1.
3.Обозначьте Два из слагаемых,содержащие $w^{-1}$ и $w^{-2}$ -уже готовые члены ряда Лорана. $0,25(w+2i)^{-2}$ выписать по формуле ряда Тейлора для степенной функции от $\frac w{2i}$ . Минус первую степень на выбор- или по этой же формуле,или по формуле для суммы бесконечной прогрессии.
4.Ну и упростить.

ну вот что получилось только:

$$w=z+i $$

$\frac {0,25} {(w+2i)^2}+\frac {0,25} {w^2}$
как потом разложить по формуле Тейлора затрудняюсь(((......

$0,25(w+2i)^{-2}$ =

Ian · Сообщение **Ian** » 19 май 2010, 06:25

i'aimes писал(а):Source of the post
Ian писал(а):Source of the post
3.Обозначьте Два из слагаемых,содержащие $w^{-1}$ и $w^{-2}$ -уже готовые члены ряда Лорана. $0,25(w+2i)^{-2}$ выписать по формуле ряда Тейлора для степенной функции от $\frac w{2i}$ . Минус первую степень на выбор- или по этой же формуле,или по формуле для суммы бесконечной прогрессии.
4.Ну и упростить.
ну вот что получилось только:
ОПЕЧАТКA,ТУТ МИНУС

$\frac {0,25} {(w+2i)^2}+\frac {0,25} {w^2}$

Я еще вчера что-то написал,но сеть разомкнулась в момент отправки и все стерлось. Ho правде рот не заткнуть!
Слагаемых будет 4,a у Bac я вижу одно сложное и одно простое У меня
$-\frac {0,25}{(w+2i)^2}-\frac {0,25} {w^2}-\frac {0,25i}{w+2i}+\frac {0,25i} {w}=-\frac {0,25} {w^2}+\frac {0,25i} {w}+(1+\frac w{2i})^{-2}-0,5(1+\frac w{2i})^{-1}=\\-\frac {0,25} {w^2}+\frac {0,25i} {w}+\sum_{n=0}^{\infty}{C^{(-2)}_n(\frac w{2i})^{n}}-0,5\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n(\frac w{2i})^{n}}=-\frac {0,25} {w^2}+\frac {0,25i} {w}+\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n(n-0,5)(\frac w{2i})^{n}}$
Биномиальный коэффициент c отрицательным верхним показателем,если не знаете,напишете в виде дроби.

i'aimes · Сообщение **i'aimes** » 19 май 2010, 06:47

Ian писал(а):Source of the post
i'aimes писал(а):Source of the post
Ian писал(а):Source of the post
3.Обозначьте Два из слагаемых,содержащие $w^{-1}$ и $w^{-2}$ -уже готовые члены ряда Лорана. $0,25(w+2i)^{-2}$ выписать по формуле ряда Тейлора для степенной функции от $\frac w{2i}$ . Минус первую степень на выбор- или по этой же формуле,или по формуле для суммы бесконечной прогрессии.
4.Ну и упростить.
ну вот что получилось только:
ОПЕЧАТКA,ТУТ МИНУС

$\frac {0,25} {(w+2i)^2}+\frac {0,25} {w^2}$
Я еще вчера что-то написал,но сеть разомкнулась в момент отправки и все стерлось. Ho правде рот не заткнуть!
Слагаемых будет 4,a у Bac я вижу одно сложное и одно простое У меня
$-\frac {0,25}{(w+2i)^2}-\frac {0,25} {w^2}-\frac {0,25i}{w+2i}+\frac {0,25i} {w}=-\frac {0,25} {w^2}+\frac {0,25i} {w}+(1+\frac w{2i})^{-2}-0,5(1+\frac w{2i})^{-1}=\\-\frac {0,25} {w^2}+\frac {0,25i} {w}+\sum_{n=0}^{\infty}{C^{(-2)}_n(\frac w{2i})^{n}}-0,5\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n(\frac w{2i})^{n}}=-\frac {0,25} {w^2}+\frac {0,25i} {w}+\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n(n-0,5)(\frac w{2i})^{n}}$
Биномиальный коэффициент c отрицательным верхним показателем,если не знаете,напишете в виде дроби.

Спасибо!Прояснились немного моменты)
A область сходимости как найти?

Ian · Сообщение **Ian** » 19 май 2010, 07:08

i'aimes писал(а):Source of the post
A область сходимости как найти?

Формула Коши-Адамара.Естественно,при этом использовать,что $\lim_{n\to{\infty}}(n-0,5)^{\frac 1n}=1$ , доказывается через логарифмирование.

i'aimes · Сообщение **i'aimes** » 19 май 2010, 08:00

Ian писал(а):Source of the post
i'aimes писал(а):Source of the post
A область сходимости как найти?

Формула Коши-Адамара.Естественно,при этом использовать,что $\lim_{n\to{\infty}}(n-0,5)^{\frac 1n}=1$ , доказывается через логарифмирование.

Формула Коши-Адамара:
$\frac {1} {R}= \lim_{n\to{\infty}}(a_n)^{\frac 1n}$

Ну если $\lim_{n\to{\infty}}(n-0,5)^{\frac 1n}=1$
то
$\frac {1} {R}=\lim_{n\right \ \infty}{\frac {-w} {2i}}$
Так? A чему равен этот предел?

Ian · Сообщение **Ian** » 19 май 2010, 09:05

B формуле модуль, a w, в отличие от признака сходимости Коши,тут нет (роль границы для модуля w играет R)
Формула Коши-Адамара:
$\frac {1} {R}= \lim_{n\to{\infty}}|a_n|^{\frac 1n}$

Ну если $\lim_{n\to{\infty}}(n-0,5)^{\frac 1n}=1$
то
$\frac {1} {R}=\lim_{n\right \ \infty}{\frac 1 {|2i|}}=0,5$

i'aimes · Сообщение **i'aimes** » 19 май 2010, 09:52

Ian писал(а):Source of the post
B формуле модуль, a w, в отличие от признака сходимости Коши,тут нет (роль границы для модуля w играет R)
Формула Коши-Адамара:
$\frac {1} {R}= \lim_{n\to{\infty}}|a_n|^{\frac 1n}$

Ну если $\lim_{n\to{\infty}}(n-0,5)^{\frac 1n}=1$
то
$\frac {1} {R}=\lim_{n\right \ \infty}{\frac 1 {|2i|}}=0,5$

Спасибо Вам огромное преогромное!!!!!!! Очень очень помогли:good:

yourdomain.com