Ряды!

СергейП

Marik писал(а):Source of the post
$\int_{0}^{1}{\frac {sinx} {\sqrt{x}}}dx=\int_{0}^{1}(x^{-\frac {1} {2}}(x+(-1)^n\frac {x^{2n+1}} {(2n+1)!}))dx=x^{-\frac {1} {2}}*(\frac {x^2} {2}+(-1)^n\frac {x^{2n+2}} {(2n+1)!(2n+2)})(0;1)-\int_{0}^{1}{(x+(-1)^n)\frac {x^{2n+1}} {(2n+1)!}}(-\frac {1} {2})x^{(-\frac {3} {2})}dx= \\ \frac {1} {2}+(-1^n\frac {1} {(2n+1)!(2n+2)})-(\frac {1} {2}(x)^{\frac {1} {2}}+(-1)^n\frac {x^{2n+\frac {1} {2}}} {(2n+1)!(2n+\frac {1} {2})}(0;1)=(-1)^n\frac {1} {(2n+1)!(2n+2)} +(-1)^n\frac {1} {(2n+1)!(2n+\frac {1} {2})}$

Вот такой получился интеграл... Верно ли я его нашла?

Нет. Надо так
$\int_{0}^{1}{\frac {sinx} {\sqrt{x}}}dx=\int_{0}^{1}(x^{-\frac {1} {2}}(x+(-1)^n\frac {x^{2n+1}} {(2n+1)!}))dx=\int_{0}^{1} x^{-\frac {1} {2}}(x- \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} - \frac {x^7} {7!} + \cdots )dx= \int_{0}^{1} ( x^{\frac 12}- \frac {x^{\frac 52}} {3!} + \frac {x^{\frac 92}} {5!} - \frac {x^{\frac {13}{2}}} {7!} + \cdots )dx= \\ = ( \frac {x^{\frac 32}}{3/2} - \frac {x^{\frac 72}} {\frac 72 \cdot 3!} + \frac {x^{\frac {11}{2}}} {\frac {11}{2} \cdot 5!} - \frac {x^{\frac {15}{2}}} {\frac {15}{2} \cdot 7!} + \cdots ) \|_0^1 = \frac 23 - \frac {2} { 7 \cdot 3!} + \frac {2} {11 \cdot 5!} - \frac {2} {15 \cdot 7!} + \cdots = \cdots$

Marik · Сообщение **Marik** » 21 мар 2010, 14:33

У меня получилось следующеe:

$\int_{0}^{1}{f(x)dx}=\frac {2} {3}+\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^n\frac {1} {(2n+1)!(2n+2)}}$
получили знакочередующийся ряд значит из теоремы Лейбница следует:

$$|S-S_n|=|R_n|<|a_n+1|$$

Это верно, или я напутала что-нибудь, подскажите, пожалуйста

СергейП

Дальше надо просто вычислить.

$\int_{0}^{1}{\frac {sinx} {\sqrt{x}}}dx=\int_{0}^{1}(x^{-\frac {1} {2}}(x+(-1)^n\frac {x^{2n+1}} {(2n+1)!}))dx=\int_{0}^{1} x^{-\frac {1} {2}}(x- \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} - \frac {x^7} {7!} + \cdots )dx= \int_{0}^{1} ( x^{\frac 12}- \frac {x^{\frac 52}} {3!} + \frac {x^{\frac 92}} {5!} - \frac {x^{\frac {13}{2}}} {7!} + \cdots )dx= \\ {= ( \frac {x^{\frac 32}}{3/2} - \frac {x^{\frac 72}} {\frac 72 \cdot 3!} + \frac {x^{\frac {11}{2}}} {\frac {11}{2} \cdot 5!} - \frac {x^{\frac {15}{2}}} {\frac {15}{2} \cdot 7!} + \cdots ) \|_0^1 }= \frac 23 - \frac {2} { 7 \cdot 3!} + \frac {2} {11 \cdot 5!} - \frac {2} {15 \cdot 7!} + \cdots = \\ = \frac 23 - \frac {1} {21} + \frac {1} {660} - \frac {1} {30240} + \cdots \approx \frac 23 - \frac {1} {21} + \frac {1} {660} \approx 0,66667 - 0,04762 + 0,00152 \approx 0,621$

И дальше указать, что для ряд знакочередующийся, члены ряда монотонно убывают, тогда для достижения заданной точности достаточно 3-х первых членов, т.к. $|u_4|= \frac {1} {30240}<0,001$

Marik · Сообщение **Marik** » 22 мар 2010, 15:43

Добрый вечер! Решила задачу, проверьте, пожалуйста.
Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда
$$y''+xy-x^2y=0$$

Решение будем искать в виде ряда:
$y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac {y^{(n)}(x_0)} {n!}(x-x_0)^n=y(x_0)+y'(x-x_0)+\frac {y''(x_0)} {2!}(x-x_0)^2+...+\frac {y^{(n)}(x_0)} {n!}(x-x_0)^n$

$$x_0=0$$

$y=y(0)+\frac {y'(0)} {1!}(x)+\frac {y''(0)} {2!}x^2+\frac {y'''(0)} {3!}x^3+...$
Подставив в исходное уравнение начальные условия найдем:
$$y''=-2$$

Подставим полученные значения и получим ответ:
$$y=1-x+...$$

Верный ли это ответ, или не достаточно членов в уравнениях?

СергейП

Marik писал(а):Source of the post
Добрый вечер! Решила задачу, проверьте, пожалуйста.
Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда

Решение будем искать в виде ряда:
$y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac {y^{(n)}(x_0)} {n!}(x-x_0)^n=y(x_0)+y'(x-x_0)+\frac {y''(x_0)} {2!}(x-x_0)^2+...+\frac {y^{(n)}(x_0)} {n!}(x-x_0)^n$

$y=y(0)+\frac {y'(0)} {1!}(x)+\frac {y''(0)} {2!}x^2+\frac {y'''(0)} {3!}x^3+...$
Подставив в исходное уравнение начальные условия найдем:

Подставим полученные значения и получим ответ:

Верный ли это ответ, или не достаточно членов в уравнениях?

B целом выкладки верные, но вычисления...
Ответа как такового просто нет - присутствуют исходные значения $$y(0)=1$$

и

, нет ни одного найденного коэффициента.
1. Обычно в условиях прямо указано, сколько членов ряда надо найти. Как правило, 3 или 4.
2. $y''=x^2y-xy \Rightarrow y''(0)= 0$
3. $y'''=(x^2y-xy)'=2xy+x^2y'-y-xy' \Rightarrow y'''(0)= -1$
Тогда, eсли достаточно 3-х членов ряда
$y=1-x- \frac 16 x^3 +...$

Marik · Сообщение **Marik** » 23 мар 2010, 03:29

Спасибо Вам большое

Marik · Сообщение **Marik** » 23 мар 2010, 07:16

A eсли еще четвертую производную посчитать, то должно так получиться?
$y^{IV}=(2xy+x^2y'-y-xy')'=2y+2xy'+2xy'+x^2y''-y'-xy''-y'$

$y^{IV}(0)=4$

СергейП

Marik писал(а):Source of the post A eсли еще четвертую производную посчитать, то должно так получиться?
$y^{IV}=(2xy+x^2y'-y-xy')'=2y+2xy'+2xy'+x^2y''-y'-xy''-y'$

$y^{IV}(0)=4$

Верно.
Тогда
$y=1-x- \frac 16 x^3 +\frac 16 x^4 +...$

Marik · Сообщение **Marik** » 23 мар 2010, 08:46

Спасибо Вам большое!

yourdomain.com

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Кто сейчас на форуме