yourdomain.com

Краткое описание форума
http://e-science11.ru/test_forum/

Задача про полином

http://e-science11.ru/test_forum/viewtopic.php?f=5&t=77246

Страница 1 из 1

Задача про полином

Добавлено: 26 май 2009, 16:50
Chet
Здравствуйте!
Подскажите пожалуйста метод или пример решения следующей задачи:
Найти полином c целыми коэффициентами, корнем которого является число $$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$$

Задача про полином

Добавлено: 26 май 2009, 18:16
ALEX165
Chet писал(а):Source of the post
Здравствуйте!
Подскажите пожалуйста метод или пример решения следующей задачи:
Найти полином c целыми коэффициентами, корнем которого является число $$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$$


Возводя эту сумму во 2, 4,8 и т.д. степени можно заметить, что результат будет содержать лишь корни из
6, 10 и 15. Чтобы в реэультате избавиться в многочлене от этих корней, достаточно сложить 3 таких степени c некоторыми коэффициентами и приравнять у суммы получившиеся коэффициенты при корнях. Из этих 3 линейных уравнений и найдёте искоиые коэффициенты искомого многочлена.

Задача про полином

Добавлено: 26 май 2009, 18:17
Chet
Получилось решить.
Надо, оказывается, так:
$$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$$
A потом возводить обе части уравнения в квадрат, до тех пор, пока все коэффициенты не будут целыми.

ALEX165 писал(а):Source of the post
Возводя эту сумму во 2, 4,8 и т.д. степени можно заметить, что результат будет содержать лишь корни из
6, 10 и 15. Чтобы в реэультате избавиться в многочлене от этих корней, достаточно сложить 3 таких степени c некоторыми коэффициентами и приравнять у суммы получившиеся коэффициенты при корнях. Из этих 3 линейных уравнений и найдёте искоиые коэффициенты искомого многочлена.

Ого. еще один способ. Спасибо

Задача про полином

Добавлено: 27 май 2009, 10:03
VAL
Chet писал(а):Source of the post
Получилось решить.
Надо, оказывается, так:
$$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$$
A потом возводить обе части уравнения в квадрат, до тех пор, пока все коэффициенты не будут целыми.

A на самом деле, надо так:
$<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x%29%3D%28x-%28%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B3%7D%2B%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B3%7D-%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B3%7D-%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28-%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B3%7D%2B%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28%5Csqrt%7B2%7D-%5Csqrt%7B3%7D-%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28-%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B3%7D-%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28-%5Csqrt%7B2%7D-%5Csqrt%7B3%7D%2B%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28-%5Csqrt%7B2%7D-%5Csqrt%7B3%7D-%5Csqrt%7B5%7D%29%29%24%24" alt="$$f(x)=(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}))(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}))(x-(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}))$$" title="$$f(x)=(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}))(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}))(x-(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}))$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$
При этом, конечно, не перемножать все скопом, a трижды воспользоваться формулой разности квадратов.

Задача про полином

Добавлено: 27 май 2009, 12:01
ALEX165
VAL писал(а):Source of the post
Chet писал(а):Source of the post
Получилось решить.
Надо, оказывается, так:
$$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$$
A потом возводить обе части уравнения в квадрат, до тех пор, пока все коэффициенты не будут целыми.

A на самом деле, надо так:
$<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x%29%3D%28x-%28%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B3%7D%2B%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B3%7D-%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B3%7D-%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28-%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B3%7D%2B%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28%5Csqrt%7B2%7D-%5Csqrt%7B3%7D-%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28-%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B3%7D-%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28-%5Csqrt%7B2%7D-%5Csqrt%7B3%7D%2B%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28-%5Csqrt%7B2%7D-%5Csqrt%7B3%7D-%5Csqrt%7B5%7D%29%29%24%24" alt="$$f(x)=(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}))(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}))(x-(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}))$$" title="$$f(x)=(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}))(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}))(x-(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}))$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$
При этом, конечно, не перемножать все скопом, a трижды воспользоваться формулой разности квадратов.

$$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$$
$$x^2=10+2*(\sqrt{2*3}+\sqrt{2*5}+\sqrt{3*5})$$
$$(x^2-10)^2=124+8(2*\sqrt{3*5}+3*\sqrt{2*5}+5*\sqrt{2*3})$$
$$((x^2-10)^2-124)^2=19200+3840(\sqrt{2*3}+\sqrt{2*5}+\sqrt{3*5})$$
$$((x^2-10)^2-124)^2-19200-1920(x^2-10)=0$$

Надеюсь не ошибся.

Задача про полином

Добавлено: 29 май 2009, 17:14
Chet
ALEX165 писал(а):Source of the post
$$((x^2-10)^2-124)^2-19200-1920(x^2-10)=0$$
Надеюсь не ошибся.

A у меня в итоге получился полином восьмой степени:

$$x^8-40x^6+352x^4-960x^2+576$$

Задача про полином

Добавлено: 29 май 2009, 18:50
ALEX165
Chet писал(а):Source of the post
ALEX165 писал(а):Source of the post
$$((x^2-10)^2-124)^2-19200-1920(x^2-10)=0$$
Надеюсь не ошибся.

A у меня в итоге получился полином восьмой степени:

$$x^8-40x^6+352x^4-960x^2+576$$

Мой тоже восьмой.

Задача про полином

Добавлено: 29 май 2009, 22:13
VAL
Chet писал(а):Source of the post
ALEX165 писал(а):Source of the post
$$((x^2-10)^2-124)^2-19200-1920(x^2-10)=0$$
И это правиьно!
A у меня в итоге получился полином восьмой степени:
$$x^8-40x^6+352x^4-960x^2+576$$
И это правильно!
Часовой пояс: UTC UTC
Страница 1 из 1
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Limited
https://www.phpbb.com/