Задача про полином

Chet · Сообщение **Chet** » 26 май 2009, 16:50

Здравствуйте!
Подскажите пожалуйста метод или пример решения следующей задачи:
Найти полином c целыми коэффициентами, корнем которого является число $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 26 май 2009, 18:16

Chet писал(а):Source of the post
Здравствуйте!
Подскажите пожалуйста метод или пример решения следующей задачи:
Найти полином c целыми коэффициентами, корнем которого является число $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$

Возводя эту сумму во 2, 4,8 и т.д. степени можно заметить, что результат будет содержать лишь корни из
6, 10 и 15. Чтобы в реэультате избавиться в многочлене от этих корней, достаточно сложить 3 таких степени c некоторыми коэффициентами и приравнять у суммы получившиеся коэффициенты при корнях. Из этих 3 линейных уравнений и найдёте искоиые коэффициенты искомого многочлена.

Chet · Сообщение **Chet** » 26 май 2009, 18:17

Получилось решить.
Надо, оказывается, так:
$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$
A потом возводить обе части уравнения в квадрат, до тех пор, пока все коэффициенты не будут целыми.

ALEX165 писал(а):Source of the post
Возводя эту сумму во 2, 4,8 и т.д. степени можно заметить, что результат будет содержать лишь корни из
6, 10 и 15. Чтобы в реэультате избавиться в многочлене от этих корней, достаточно сложить 3 таких степени c некоторыми коэффициентами и приравнять у суммы получившиеся коэффициенты при корнях. Из этих 3 линейных уравнений и найдёте искоиые коэффициенты искомого многочлена.

Ого. еще один способ. Спасибо

VAL · Сообщение **VAL** » 27 май 2009, 10:03

Chet писал(а):Source of the post
Получилось решить.
Надо, оказывается, так:
$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$
A потом возводить обе части уравнения в квадрат, до тех пор, пока все коэффициенты не будут целыми.

A на самом деле, надо так:
$<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x%29%3D%28x-%28%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B3%7D%2B%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B3%7D-%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B3%7D-%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28-%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B3%7D%2B%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28%5Csqrt%7B2%7D-%5Csqrt%7B3%7D-%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28-%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B3%7D-%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28-%5Csqrt%7B2%7D-%5Csqrt%7B3%7D%2B%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28-%5Csqrt%7B2%7D-%5Csqrt%7B3%7D-%5Csqrt%7B5%7D%29%29%24%24" alt="$$f(x)=(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}))(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}))(x-(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}))$$" title="$$f(x)=(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}))(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}))(x-(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}))$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$
При этом, конечно, не перемножать все скопом, a трижды воспользоваться формулой разности квадратов.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 27 май 2009, 12:01

VAL писал(а):Source of the post
Chet писал(а):Source of the post
Получилось решить.
Надо, оказывается, так:
$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$
A потом возводить обе части уравнения в квадрат, до тех пор, пока все коэффициенты не будут целыми.

A на самом деле, надо так:
$<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x%29%3D%28x-%28%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B3%7D%2B%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B3%7D-%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B3%7D-%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28-%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B3%7D%2B%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28%5Csqrt%7B2%7D-%5Csqrt%7B3%7D-%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28-%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B3%7D-%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28-%5Csqrt%7B2%7D-%5Csqrt%7B3%7D%2B%5Csqrt%7B5%7D%29%29%28x-%28-%5Csqrt%7B2%7D-%5Csqrt%7B3%7D-%5Csqrt%7B5%7D%29%29%24%24" alt="$$f(x)=(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}))(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}))(x-(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}))$$" title="$$f(x)=(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}))(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}))(x-(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}))(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}))$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$
При этом, конечно, не перемножать все скопом, a трижды воспользоваться формулой разности квадратов.

$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$
$x^2=10+2*(\sqrt{2*3}+\sqrt{2*5}+\sqrt{3*5})$
$(x^2-10)^2=124+8(2*\sqrt{3*5}+3*\sqrt{2*5}+5*\sqrt{2*3})$
$((x^2-10)^2-124)^2=19200+3840(\sqrt{2*3}+\sqrt{2*5}+\sqrt{3*5})$
$$((x^2-10)^2-124)^2-19200-1920(x^2-10)=0$$

Надеюсь не ошибся.

Chet · Сообщение **Chet** » 29 май 2009, 17:14

ALEX165 писал(а):Source of the post

Надеюсь не ошибся.

A у меня в итоге получился полином восьмой степени:

$$x^8-40x^6+352x^4-960x^2+576$$

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 29 май 2009, 18:50

Chet писал(а):Source of the post
ALEX165 писал(а):Source of the post

Надеюсь не ошибся.

A у меня в итоге получился полином восьмой степени:

Мой тоже восьмой.

VAL · Сообщение **VAL** » 29 май 2009, 22:13

Chet писал(а):Source of the post
ALEX165 писал(а):Source of the post

И это правиьно!

A у меня в итоге получился полином восьмой степени:

И это правильно!

yourdomain.com