Синус любого числа равен 0

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 31 июл 2007, 17:15

Вот такое вот "доказательство"
$sinx=\frac {e^{ix}-e^{-ix}} {2i}=\frac {(e^{2\pi i})^{\frac {x} {2\pi}}-(e^{-2\pi i})^{\frac {x} {2\pi}}}{2i}=\frac {1-1} {2i}=0$

alexpro · Сообщение **alexpro** » 31 июл 2007, 18:52

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Вот такое вот "доказательство"
$sinx=\frac {e^{ix}-e^{-ix}} {2i}=\frac {(e^{2\pi i})^{\frac {x} {2\pi}}-(e^{-2\pi i})^{\frac {x} {2\pi}}}{2i}=\frac {1-1} {2i}=0$

Ошибка в том, что $1^{\frac {x} {2\pi}}=1$ , ведь из того, что $$i^4=1$$

не следует же, что $i=1^{1/4}=1$ .

Developer · Сообщение **Developer** » 03 авг 2007, 14:07

Обычное комплексное число состоит из действительной и мнимой частей, например $e^{i\varphi} = cos\varphi+isin\varphi$ , тогда $e^{2\pi i} = cos(2\pi)+isin(2\pi)=1$ , a $e^{-2\pi i} = -cos(2\pi)-isin(2\pi)=-1$ . Так как выражение $\frac x {2\pi}$ окажется чётным только при $x = 2n\pi$ , где n=0,2,4..., при которых функция синуса действительно обращается в нуль, то для прочих значений показателя $\frac x {2\pi}$ концы c концами не сходятся...

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 03 авг 2007, 15:33

Developer писал(а):Source of the post
a $e^{-2\pi i} = -cos(2\pi)-isin(2\pi)=-1$ .

$e^{-2\pi i} = cos(-2\pi)+isin(-2\pi)=cos(2\pi)-isin(2\pi)=1$ .

alexpro писал(а):Source of the post
Ошибка в том, что $1^{\frac {x} {2\pi}}=1$

Насколько я знаю, по определению полагают что единица в любой действительной степени равна 1.

alexpro писал(а):Source of the post
ведь из того, что не следует же, что $i=1^{1/4}=1$ .

Это да, если степень какого то числа равна 1, то это число не обязательно 1, но у нас другая ситуация

Проблема в том, что для комплексных чисел не выполняется свойство
$(e^{z_1})^{z_2}=e^{z_1z_2}$
Действительно
$(e^{z_1})^{z_2}\equiv e^{z_2Ln(e^{z_1})}$ (1)
$Ln(e^{z_1})=ln(e^x)+i(y+2\pi n)=z_1+i2\pi n$
$e^{z_2Ln(e^{z_1})}=e^{z_2z_1+i2\pi n z_2}$

T.e вообще говоря в общем случае в левой части равенства (1) многозначная функция
Тогда переход $e^{ix}=(e^{2\pi i})^{x/2 \pi}$ неверен

Developer · Сообщение **Developer** » 03 авг 2007, 19:00

M-да-a-a...
Век живи, век учись...

yourdomain.com