Страница 1 из 2
задачка на площади, над которой я уже 2 дня мучаюсь
Добавлено: 06 май 2010, 10:31
Lenor
Я мучаюсь над этой задачей уже второй день, хотя мне это не свойственно=( может вы натолкнете на какую-нибудь мысль, пожалуйста.
условие: точки D и E расположены на стороне AC треугольника ABC. Прямые BD и BE разбивают медиану AM треугольника ABC на три равных отрезка. Найдите площадь треугольника BDE, если площадь треугольника ABC равна 1.
мои наброски: если мы обозначим точки пересечения медианы прямыми BD и BE слева направо K и T, тогда площади треугольников ABK, KBT, TBM равны по свойству медиан и равны по 1/6. Если мы найдем отношение DE к AC, то тогда задача решена, но c этого момента у меня завал=(. если вам не сложно, натолкните на мысль.
задачка на площади, над которой я уже 2 дня мучаюсь
Добавлено: 06 май 2010, 11:01
Таланов
Пока не знаю как решать, но если поможет, то BE - медиана.
задачка на площади, над которой я уже 2 дня мучаюсь
Добавлено: 06 май 2010, 11:12
Hottabych
A нельзя ли, воспользовавшись теоремой Фалеса , доказать, что DE=AC/3 (это глупость, совсем забыл школьную математику), и тогда площадь BDE=1/3 площади ABC (поскольку высота у них одинакова)?
задачка на площади, над которой я уже 2 дня мучаюсь
Добавлено: 06 май 2010, 11:17
Таланов
BD и BE не параллельны.
задачка на площади, над которой я уже 2 дня мучаюсь
Добавлено: 06 май 2010, 11:20
Lenor
Hottabych писал(а):Source of the post A нельзя ли, воспользовавшись теоремай Фалеса, доказать, что DE=AC/3, и тогда площадь BDE=1/3 площади ABC (поскольку высота у них одинакова)?
вот я тоже думала об этом. только теорема фалеса действует только при параллельных прямых. я тоже знаю, что по идеи площадь должна быть 1/3 но как доказать не знаю. надо доказать, что AD:DE:EC как 1:2:3
как доказать, что BE медиана?
задачка на площади, над которой я уже 2 дня мучаюсь
Добавлено: 06 май 2010, 11:28
Ian
Продолжу talanova.
Применим теорему Менелая к треугольнику BCD и прямой AM, получим
![$$\frac {BK}{KD}=\frac{CA}{DA}$$ $$\frac {BK}{KD}=\frac{CA}{DA}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%20%7BBK%7D%7BKD%7D%3D%5Cfrac%7BCA%7D%7BDA%7D%24%24)
Применим ee же к треугольнику BKM и прямой AC, получим
![$$\frac {KD}{BD}=\frac 16$$ $$\frac {KD}{BD}=\frac 16$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%20%7BKD%7D%7BBD%7D%3D%5Cfrac%2016%24%24)
Отсюда
![$$\frac {KD}{BK}=\frac 15\\ \frac {CA}{DA}=5$$ $$\frac {KD}{BK}=\frac 15\\ \frac {CA}{DA}=5$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%20%7BKD%7D%7BBK%7D%3D%5Cfrac%2015%5C%5C%20%5Cfrac%20%7BCA%7D%7BDA%7D%3D5%24%24)
Кто предположил 1:2:3? Будет 2:3:5 !
задачка на площади, над которой я уже 2 дня мучаюсь
Добавлено: 06 май 2010, 12:14
Lenor
Ian писал(а):Source of the post Продолжу talanova.
Применим теорему Менелая к треугольнику BCD и прямой AM, получим
![$$\frac {BK}{KD}=\frac{CA}{DA}$$ $$\frac {BK}{KD}=\frac{CA}{DA}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%20%7BBK%7D%7BKD%7D%3D%5Cfrac%7BCA%7D%7BDA%7D%24%24)
Применим ee же к треугольнику BKM и прямой AC, получим
![$$\frac {KD}{BD}=\frac 16$$ $$\frac {KD}{BD}=\frac 16$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%20%7BKD%7D%7BBD%7D%3D%5Cfrac%2016%24%24)
Отсюда
![$$\frac {KD}{BK}=\frac 15\\ \frac {CA}{DA}=5$$ $$\frac {KD}{BK}=\frac 15\\ \frac {CA}{DA}=5$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%20%7BKD%7D%7BBK%7D%3D%5Cfrac%2015%5C%5C%20%5Cfrac%20%7BCA%7D%7BDA%7D%3D5%24%24)
Кто предположил 1:2:3? Будет 2:3:5 !
спасибо большое, только как доказать, что BE-медиана?
задачка на площади, над которой я уже 2 дня мучаюсь
Добавлено: 06 май 2010, 12:19
Таланов
Медианы пересекаются в точке делющих их 2:1.
задачка на площади, над которой я уже 2 дня мучаюсь
Добавлено: 06 май 2010, 14:47
Самоед
Верно. Прочитать статью в интернете "свойства медиан" - ответ в кармане.
задачка на площади, над которой я уже 2 дня мучаюсь
Добавлено: 06 май 2010, 16:41
Dm13
A еще задача легко (хотя и не столь изящно, но и не особо муторно) решается методом координат.
Точку поместим
![$$C$$ $$C$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24C%24%24)
в начало координат, точку
![$$A$$ $$A$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24A%24%24)
на ось
![$$Ox$$ $$Ox$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24Ox%24%24)
.
![$$C(0,0); B(x,y); A(a,0)$$ $$C(0,0); B(x,y); A(a,0)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24C%280%2C0%29%3B%20B%28x%2Cy%29%3B%20A%28a%2C0%29%24%24)
.
Тогда
![$$M(\frac{x}{2},\frac{y}{2})$$ $$M(\frac{x}{2},\frac{y}{2})$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24M%28%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7By%7D%7B2%7D%29%24%24)
.
![$$AM$$ $$AM$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24AM%24%24)
состоит из точек
![$$t(\frac{x}{2}-a,\frac{y}{2})+(a,0)), t\in[0,1]$$ $$t(\frac{x}{2}-a,\frac{y}{2})+(a,0)), t\in[0,1]$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24t%28%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D-a%2C%5Cfrac%7By%7D%7B2%7D%29%2B%28a%2C0%29%29%2C%20t%5Cin%5B0%2C1%5D%24%24)
Находим точки пересечения
![$$AM$$ $$AM$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24AM%24%24)
c
![$$BE$$ $$BE$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24BE%24%24)
и
![$$BD$$ $$BD$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24BD%24%24)
- это точки отрезка
![$$AM$$ $$AM$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24AM%24%24)
при
![$$t=\frac{2}{3}$$ $$t=\frac{2}{3}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24t%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%24%24)
и
![$$t=\frac{1}{3}$$ $$t=\frac{1}{3}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24t%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%24%24)
:
![$$(\frac{x}{3}+\frac{1}{3}a,\frac{y}{3})$$ $$(\frac{x}{3}+\frac{1}{3}a,\frac{y}{3})$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28%5Cfrac%7Bx%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Da%2C%5Cfrac%7By%7D%7B3%7D%29%24%24)
,
![$$(\frac{x}{6}+\frac{2}{3}a,\frac{y}{6})$$ $$(\frac{x}{6}+\frac{2}{3}a,\frac{y}{6})$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28%5Cfrac%7Bx%7D%7B6%7D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Da%2C%5Cfrac%7By%7D%7B6%7D%29%24%24)
.
Уравнения прямых
![$$BE$$ $$BE$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24BE%24%24)
и
![$$BD$$ $$BD$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24BD%24%24)
:
![$$t(-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3},-\frac{2}{3}y) + (x,y)$$ $$t(-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3},-\frac{2}{3}y) + (x,y)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24t%28-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2C-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dy%29%20%2B%20%28x%2Cy%29%24%24)
,
![$$t(-\frac{5}{6}x+\frac{2}{3},-\frac{5}{6}y) + (x,y)$$ $$t(-\frac{5}{6}x+\frac{2}{3},-\frac{5}{6}y) + (x,y)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24t%28-%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7Dx%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%2C-%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7Dy%29%20%2B%20%28x%2Cy%29%24%24)
.
Находим координаты точек
![$$E$$ $$E$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24E%24%24)
и
![$$D$$ $$D$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24D%24%24)
как точек пересечения соответсвенно
![$$BE$$ $$BE$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24BE%24%24)
и
![$$BD$$ $$BD$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24BD%24%24)
c
![$$Ox$$ $$Ox$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24Ox%24%24)
(для каждой прямой находим
![$$t$$ $$t$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24t%24%24)
, при котором вторая координата обращается в 0 и по нему находим значение первой координаты):
![$$E(-x+\frac{1}{2}a, 0)$$ $$E(-x+\frac{1}{2}a, 0)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24E%28-x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Da%2C%200%29%24%24)
![$$D(-x+\frac{4}{5}a, 0)$$ $$D(-x+\frac{4}{5}a, 0)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24D%28-x%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7Da%2C%200%29%24%24)
.
Тогда
![$$|ED| = \frac{3}{10}a$$ $$|ED| = \frac{3}{10}a$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%7CED%7C%20%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B10%7Da%24%24)
.
Ну a площадь
![$$BDE$$ $$BDE$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24BDE%24%24)
равна
![$$\frac{|ED|}{|AC|}\cdot 1 = \frac{3}{10}$$ $$\frac{|ED|}{|AC|}\cdot 1 = \frac{3}{10}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%7B%7CED%7C%7D%7B%7CAC%7C%7D%5Ccdot%201%20%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B10%7D%24%24)
.
He уверен, что это школьники это проходят (постарался написать максимально подробно), но признаюсь, c теоремой Менелая я и сам не был знаком до прочтения этой темы (ну или совсем уж хорошо забыл).
![Улыбается :)](./images/smilies/icon_e_smile.gif)