Я мучаюсь над этой задачей уже второй день, хотя мне это не свойственно=( может вы натолкнете на какую-нибудь мысль, пожалуйста.
условие: точки D и E расположены на стороне AC треугольника ABC. Прямые BD и BE разбивают медиану AM треугольника ABC на три равных отрезка. Найдите площадь треугольника BDE, если площадь треугольника ABC равна 1.
мои наброски: если мы обозначим точки пересечения медианы прямыми BD и BE слева направо K и T, тогда площади треугольников ABK, KBT, TBM равны по свойству медиан и равны по 1/6. Если мы найдем отношение DE к AC, то тогда задача решена, но c этого момента у меня завал=(. если вам не сложно, натолкните на мысль.
задачка на площади, над которой я уже 2 дня мучаюсь
задачка на площади, над которой я уже 2 дня мучаюсь
Последний раз редактировалось Lenor 29 ноя 2019, 17:56, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
задачка на площади, над которой я уже 2 дня мучаюсь
Пока не знаю как решать, но если поможет, то BE - медиана.
Последний раз редактировалось Таланов 29 ноя 2019, 17:56, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
задачка на площади, над которой я уже 2 дня мучаюсь
A нельзя ли, воспользовавшись теоремой Фалеса , доказать, что DE=AC/3 (это глупость, совсем забыл школьную математику), и тогда площадь BDE=1/3 площади ABC (поскольку высота у них одинакова)?
Последний раз редактировалось Hottabych 29 ноя 2019, 17:56, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
задачка на площади, над которой я уже 2 дня мучаюсь
BD и BE не параллельны.
Последний раз редактировалось Таланов 29 ноя 2019, 17:56, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
задачка на площади, над которой я уже 2 дня мучаюсь
Hottabych писал(а):Source of the post
A нельзя ли, воспользовавшись теоремай Фалеса, доказать, что DE=AC/3, и тогда площадь BDE=1/3 площади ABC (поскольку высота у них одинакова)?
вот я тоже думала об этом. только теорема фалеса действует только при параллельных прямых. я тоже знаю, что по идеи площадь должна быть 1/3 но как доказать не знаю. надо доказать, что AD:DE:EC как 1:2:3
как доказать, что BE медиана?
Последний раз редактировалось Lenor 29 ноя 2019, 17:56, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
задачка на площади, над которой я уже 2 дня мучаюсь
Продолжу talanova.
Применим теорему Менелая к треугольнику BCD и прямой AM, получим![$$\frac {BK}{KD}=\frac{CA}{DA}$$ $$\frac {BK}{KD}=\frac{CA}{DA}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%20%7BBK%7D%7BKD%7D%3D%5Cfrac%7BCA%7D%7BDA%7D%24%24)
Применим ee же к треугольнику BKM и прямой AC, получим![$$\frac {KD}{BD}=\frac 16$$ $$\frac {KD}{BD}=\frac 16$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%20%7BKD%7D%7BBD%7D%3D%5Cfrac%2016%24%24)
Отсюда![$$\frac {KD}{BK}=\frac 15\\ \frac {CA}{DA}=5$$ $$\frac {KD}{BK}=\frac 15\\ \frac {CA}{DA}=5$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%20%7BKD%7D%7BBK%7D%3D%5Cfrac%2015%5C%5C%20%5Cfrac%20%7BCA%7D%7BDA%7D%3D5%24%24)
Кто предположил 1:2:3? Будет 2:3:5 !
Применим теорему Менелая к треугольнику BCD и прямой AM, получим
Применим ee же к треугольнику BKM и прямой AC, получим
Отсюда
Кто предположил 1:2:3? Будет 2:3:5 !
Последний раз редактировалось Ian 29 ноя 2019, 17:56, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
задачка на площади, над которой я уже 2 дня мучаюсь
Ian писал(а):Source of the post
Продолжу talanova.
Применим теорему Менелая к треугольнику BCD и прямой AM, получим
Применим ee же к треугольнику BKM и прямой AC, получим
Отсюда![]()
Кто предположил 1:2:3? Будет 2:3:5 !
спасибо большое, только как доказать, что BE-медиана?
Последний раз редактировалось Lenor 29 ноя 2019, 17:56, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
задачка на площади, над которой я уже 2 дня мучаюсь
Медианы пересекаются в точке делющих их 2:1.
Последний раз редактировалось Таланов 29 ноя 2019, 17:56, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
задачка на площади, над которой я уже 2 дня мучаюсь
Верно. Прочитать статью в интернете "свойства медиан" - ответ в кармане.
Последний раз редактировалось Самоед 29 ноя 2019, 17:56, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
задачка на площади, над которой я уже 2 дня мучаюсь
A еще задача легко (хотя и не столь изящно, но и не особо муторно) решается методом координат.
Точку поместим
в начало координат, точку
на ось
.
.
Тогда
.
состоит из точек ![$$t(\frac{x}{2}-a,\frac{y}{2})+(a,0)), t\in[0,1]$$ $$t(\frac{x}{2}-a,\frac{y}{2})+(a,0)), t\in[0,1]$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24t%28%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D-a%2C%5Cfrac%7By%7D%7B2%7D%29%2B%28a%2C0%29%29%2C%20t%5Cin%5B0%2C1%5D%24%24)
Находим точки пересечения
c
и
- это точки отрезка
при
и
:
,
.
Уравнения прямых
и
:
,
.
Находим координаты точек
и
как точек пересечения соответсвенно
и
c
(для каждой прямой находим
, при котором вторая координата обращается в 0 и по нему находим значение первой координаты):
![$$E(-x+\frac{1}{2}a, 0)$$ $$E(-x+\frac{1}{2}a, 0)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24E%28-x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Da%2C%200%29%24%24)
.
Тогда
.
Ну a площадь
равна
.
He уверен, что это школьники это проходят (постарался написать максимально подробно), но признаюсь, c теоремой Менелая я и сам не был знаком до прочтения этой темы (ну или совсем уж хорошо забыл).![Улыбается :)](./images/smilies/icon_e_smile.gif)
Точку поместим
Тогда
Находим точки пересечения
Уравнения прямых
Находим координаты точек
Тогда
Ну a площадь
He уверен, что это школьники это проходят (постарался написать максимально подробно), но признаюсь, c теоремой Менелая я и сам не был знаком до прочтения этой темы (ну или совсем уж хорошо забыл).
![Улыбается :)](./images/smilies/icon_e_smile.gif)
Последний раз редактировалось Dm13 29 ноя 2019, 17:56, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Школьная математика»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 1 гость