Пример c параметрпом

kluk · Сообщение **kluk** » 02 апр 2008, 17:26

Дана система:sinx+siny=sin(x+y)
(x-a)^2+(y-B)^2= $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cpi%24%24" alt="$$\pi$$" title="$$\pi$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ ^2k^2
Найдите все положительные значения параметра k, для каждого из которых найдётся хотя бы одна пара чисел ( a;b) таких что система уравнений имеет ровно одно решение

Natrix · Сообщение **Natrix** » 02 апр 2008, 18:33

kluk писал(а):Source of the post
Дана система:
$(x-a)^2+(y- b)^2=\pi^2k^2$
Найдите все положительные значения параметра k, для каждого из которых найдётся хотя бы одна пара чисел ( a;b) таких что система уравнений имеет ровно одно решение

Так оно выглядит?

venja · Сообщение **venja** » 02 апр 2008, 18:36

kluk писал(а):Source of the post
Дана система:sinx+siny=sin(x+y)
(x-a)^2+(y-b )^2= $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cpi%24%24" alt="$$\pi$$" title="$$\pi$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ ^2k^2
Найдите все положительные значения параметра k, для каждого из которых найдётся хотя бы одна пара чисел ( a;b) таких что система уравнений имеет ровно одно решение

Можно попробовать подумать в таком направлении (самому некогда).

Думаю, важно заметить, что первому уравнению удовлетворяют все точки прямой у=-х.
Поэтому, возможно, задача сведется к следующей:

(x-a)^2+(х+b )^2= $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cpi%24%24" alt="$$\pi$$" title="$$\pi$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ ^2k^2
Найдите все положительные значения параметра k, для каждого из которых найдётся хотя бы одна пара чисел ( a;b) таких что это уравнение имеет только одно решение.

CD_Eater · Сообщение **CD_Eater** » 02 апр 2008, 19:01

Задача становится очевидной, если решить уравнение c синусами и переформулировать кванторы человеческими словами: "найти все радиусы, такие что существует окружность, пересекающая найденный набор прямых ровно в одной точке".
Ответ: $k\ <\ 2-\sqrt{2}$

Hay-ahper · Сообщение **Hay-ahper** » 02 июн 2009, 16:56

kluk писал(а):Source of the post
Дана система:sinx+siny=sin(x+y)
(x-a)^2+(y-B)^2= $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cpi%24%24" alt="$$\pi$$" title="$$\pi$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ ^2k^2
Найдите все положительные значения параметра k, для каждого из которых найдётся хотя бы одна пара чисел ( a;b) таких что система уравнений имеет ровно одно решение

Здравстуйте.Недавно наткнулся на такую же систему и не смог решить.Вы бы не могли подсказать, как ee решить, если Вы поняли решение. A то очень сильно надо мне ee решить(через 2 дня экзамен)

borismag · Сообщение **borismag** » 02 июн 2009, 17:30

CD_Eater писал(а):Source of the post
Задача становится очевидной, если решить уравнение c синусами и переформулировать кванторы человеческими словами: "найти все радиусы, такие что существует окружность, пересекающая найденный набор прямых ровно в одной точке".
Ответ: $k\ <\ 2-\sqrt{2}$

A у вас какой набор прямых получился?
У меня вот что: 1) $y=2\pi n$ 2) $x=2\pi n$ при $n\in Z$
Вот как получил:
$sinx+siny=sin(x+y) \Leftrightarrow 2sin(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})=2sin(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x+y}{2}) \Leftrightarrow cos(\frac{x-y}{2})=\\=cos(\frac{x+y}{2}) \Leftrightarrow (\frac{x+y}{2})=\pm (\frac{x-y}{2})+2\pi n$
Если верно, то $$0<k<2$$

k1ng1232 · Сообщение **k1ng1232** » 02 июн 2009, 19:11

a как вы

находите если нашли х и у ?

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 02 июн 2009, 19:32

borismag писал(а):Source of the post
A у вас какой набор прямых получился?
У меня вот что: 1) $y=2\pi n$ 2) $x=2\pi n$ при $n\in Z$
Вот как получил:
$sinx+siny=sin(x+y) \Leftrightarrow 2sin(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})=2sin(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x+y}{2}) \Leftrightarrow cos(\frac{x-y}{2})=\\=cos(\frac{x+y}{2}) \Leftrightarrow (\frac{x+y}{2})=\pm (\frac{x-y}{2})+2\pi n$
Если верно, то

Вы еще упустили, кажется, $2sin(\frac{x+y}{2})=0$ .

borismag · Сообщение **borismag** » 02 июн 2009, 20:09

Точно, упустил и очень зря! Этот случай задает семейство прямых $y=-x+2\pi n$ .
Хотя ответ, по-моему, не меняется.
k1ng, первое уравнение задает семейства прямых на плоскости, второе - уравнение окружности. a и b - координаты её центра. Они могут быть любыми, так что нам достаточно, чтобы k было меньше расстояния между любыми двумя прямыми. Тогда можно будет подобрать центр так, что бы окружность касалась какой-то прямой.

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 02 июн 2009, 20:20

borismag писал(а):Source of the post
Точно, упустил и очень зря! Этот случай задает семейство прямых $y=-x+2\pi n$ .
Хотя ответ, по-моему, не меняется.

Меняется. K квадратикам добавляются симпатичные диагональки. Далее надо найти радиус вписанной в треугольнички окружности.

yourdomain.com