yourdomain.com

Окружность радиуса r вписана в четырехугольник ABCD. Найти его площадь, если известно, что сумма длин его сторон AB и BC равна 42, периметр треугольника ACD равен 18 и OD:OB = 1:4, где O - точка пересечения диагоналей четырехугольника. Указать при каких значениях r задача имеет решение.

Думаю, должны испльзоваться 2 факта
1) Площадь равна полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности.
2) если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных ьсторон одинаковы.

venja писал(а):Source of the post
Думаю, должны испльзоваться 2 факта
1) Площадь равна полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности.
2) если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных ьсторон одинаковы.

Когда пытался решить сам, учитывал оба этих факта!

, формула Герона, AB-BC=DA-CD => AC=6.
Найти площадь невозможно, так как для этого не хватает данных.
Возможно в условии ошибка, и нужно найти периметр?

malk писал(а):Source of the post
Возможно в условии ошибка, и нужно найти периметр?

Видимо, имеется в виду, что r дано. Тогда достаточно найти периметр и заняться вторым вопросом.

Спасибо за наводку на Герона
Периметр получается 54 и соответственно площадь 27r.
Площадь максимальна у четырёхугольника, симметричного относительно BD.
.
Совпадает?

da67 писал(а):Source of the post
Спасибо за наводку на Герона
Периметр получается 54 и соответственно площадь 27r.
Площадь максимальна у четырёхугольника, симметричного относительно BD.
.
Совпадает?

Ответ мне неизвестен, но Ваш, скорее всего, правильный. He пойму только, как выводится ограничение для r?

Dakota писал(а):Source of the post
He пойму только, как выводится ограничение для r?

Ноль легко получить, вытянув всё в линию. Максимальный радиус равен максимально возможной площади, делённой на полупериметр. Периметр однозначно определятся данными задачи. Остаётся поиграть в площадь и тут выручает формула Герона (ещё раз спасибо malkу)

da67 писал(а):Source of the post

Dakota писал(а):Source of the post
He пойму только, как выводится ограничение для r?

Ноль легко получить, вытянув всё в линию. Максимальный радиус равен максимально возможной площади, делённой на полупериметр. Периметр однозначно определятся данными задачи. Остаётся поиграть в площадь и тут выручает формула Герона (ещё раз спасибо malkу)

Всё понятно! Кстати, для вычисления максимально возможной площади четырёхугольника c известными длинами сторон можно воспользоваться формулой Брахмагупты (o площади вписанного четырёхугольника): где — полупериметр четырёхугольника.

Dakota писал(а):Source of the post

da67 писал(а):Source of the post

Dakota писал(а):Source of the post
He пойму только, как выводится ограничение для r?

Ноль легко получить, вытянув всё в линию. Максимальный радиус равен максимально возможной площади, делённой на полупериметр. Периметр однозначно определятся данными задачи. Остаётся поиграть в площадь и тут выручает формула Герона (ещё раз спасибо malkу)

Всё понятно! Кстати, для вычисления максимально возможной площади четырёхугольника c известными длинами сторон можно воспользоваться формулой Брахмагупты (o площади вписанного четырёхугольника): где — полупериметр четырёхугольника.

Ошибка!
.. данной формулой воспользоваться нельзя, так как четырёхугольник не является вписанным!
и S=27r - правильный ответ.
Задача решена, тема закрыта!