Задача по геометрии

Dakota · Сообщение **Dakota** » 28 фев 2008, 17:03

Окружность радиуса r вписана в четырехугольник ABCD. Найти его площадь, если известно, что сумма длин его сторон AB и BC равна 42, периметр треугольника ACD равен 18 и OD:OB = 1:4, где O - точка пересечения диагоналей четырехугольника. Указать при каких значениях r задача имеет решение.

venja · Сообщение **venja** » 28 фев 2008, 18:39

Думаю, должны испльзоваться 2 факта
1) Площадь равна полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности.
2) если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных ьсторон одинаковы.

Dakota · Сообщение **Dakota** » 28 фев 2008, 19:34

venja писал(а):Source of the post
Думаю, должны испльзоваться 2 факта
1) Площадь равна полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности.
2) если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных ьсторон одинаковы.

Когда пытался решить сам, учитывал оба этих факта!

malk · Сообщение **malk** » 29 фев 2008, 01:00

$\frac{S_{ABC}}{S_{ADC}}=\frac{BO}{DO}$ , формула Герона, AB-BC=DA-CD => AC=6.
Найти площадь невозможно, так как для этого не хватает данных.
Возможно в условии ошибка, и нужно найти периметр?

da67 · Сообщение **da67** » 29 фев 2008, 07:23

malk писал(а):Source of the post
Возможно в условии ошибка, и нужно найти периметр?

Видимо, имеется в виду, что r дано. Тогда достаточно найти периметр и заняться вторым вопросом.

da67 · Сообщение **da67** » 29 фев 2008, 12:04

Спасибо за наводку на Герона
Периметр получается 54 и соответственно площадь 27r.
Площадь максимальна у четырёхугольника, симметричного относительно BD.
$0<r\le\frac{5}{\sqrt{3}}$ .
Совпадает?

Dakota · Сообщение **Dakota** » 29 фев 2008, 12:29

da67 писал(а):Source of the post
Спасибо за наводку на Герона
Периметр получается 54 и соответственно площадь 27r.
Площадь максимальна у четырёхугольника, симметричного относительно BD.
$0<r\le\frac{5}{\sqrt{3}}$ .
Совпадает?

Ответ мне неизвестен, но Ваш, скорее всего, правильный. He пойму только, как выводится ограничение для r?

da67 · Сообщение **da67** » 29 фев 2008, 12:32

Dakota писал(а):Source of the post
He пойму только, как выводится ограничение для r?

Ноль легко получить, вытянув всё в линию. Максимальный радиус равен максимально возможной площади, делённой на полупериметр. Периметр однозначно определятся данными задачи. Остаётся поиграть в площадь и тут выручает формула Герона (ещё раз спасибо malkу)

Dakota · Сообщение **Dakota** » 29 фев 2008, 12:57

da67 писал(а):Source of the post
Dakota писал(а):Source of the post
He пойму только, как выводится ограничение для r?

Ноль легко получить, вытянув всё в линию. Максимальный радиус равен максимально возможной площади, делённой на полупериметр. Периметр однозначно определятся данными задачи. Остаётся поиграть в площадь и тут выручает формула Герона (ещё раз спасибо malkу)

Всё понятно! Кстати, для вычисления максимально возможной площади четырёхугольника c известными длинами сторон можно воспользоваться формулой Брахмагупты (o площади вписанного четырёхугольника): $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},$ где $p=\frac{a+b+c+d}2$ — полупериметр четырёхугольника.

Dakota · Сообщение **Dakota** » 29 фев 2008, 14:02

Dakota писал(а):Source of the post
da67 писал(а):Source of the post
Dakota писал(а):Source of the post
He пойму только, как выводится ограничение для r?

Ноль легко получить, вытянув всё в линию. Максимальный радиус равен максимально возможной площади, делённой на полупериметр. Периметр однозначно определятся данными задачи. Остаётся поиграть в площадь и тут выручает формула Герона (ещё раз спасибо malkу)

Всё понятно! Кстати, для вычисления максимально возможной площади четырёхугольника c известными длинами сторон можно воспользоваться формулой Брахмагупты (o площади вписанного четырёхугольника): $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},$ где $p=\frac{a+b+c+d}2$ — полупериметр четырёхугольника.

Ошибка!
.. данной формулой воспользоваться нельзя, так как четырёхугольник не является вписанным!
$0<r\le\frac{5}{\sqrt{3}}$ и S=27r - правильный ответ.
Задача решена, тема закрыта!

yourdomain.com