Показательное неравенство и задача по геометрии

Nina · Сообщение **Nina** » 21 фев 2008, 13:56

Помогите пожалуйста:

1.
$(4x^2-4x+4)^{x^2-2x+5}>(x^2-2x+5)^{4x^2-4x+4}$

2. Основание треугольной пирамиды SABC- равносторонний треугольник ABC. Известно, что

$$AB=4$$

, $AS=BS=\sqrt{19}$ , $$CS=3$$

.
Найти площадь поверхности сферы, описанной около пирамиды.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 21 фев 2008, 14:24

Вообщем, нужно решить уравнение $$x^y=y^x$$

.
Что то я впал в задумчивость

Вот график $$z=x^y-y^x$$

, интересно, что там за кривая (напоминающая гиперболу) ?

bot · Сообщение **bot** » 22 фев 2008, 03:36

Nina писал(а):Source of the post
Помогите пожалуйста:
1. $(4x^2-4x+4)^{x^2-2x+5}>(x^2-2x+5)^{4x^2-4x+4}$

Логарифмируем:

$(x^2-2x+5)\ln(4x^2-4x+4)>(4x^2-4x+4)\ln (x^2-2x+5)$

Заметим, что $x^2-2x+5=(x-1)^2+4>e, \ \ 4x^2-4x+4 = (2x-1)^2+3>e$

Разделив неравенство на положительное $$(x^2-2x+5)(4x^2-4x+4)$$

получим равносильное неравенство:

$\frac{\ln (4x^2-4x+4)}{4x^2-4x+4}>\frac{\ln (x^2-2x+5)}{x^2-2x+5}$

Так как производная функции $\frac{\ln x}{x}$ отрицательна на интервале $$x>e$$

, то она строго убывает на этом интервале. Отсюда наше неравенство равносильно квадратному неравенству:

$$4x^2-4x+4<x^2-2x+5$$

Ответ: $-\frac{1}{3}< x < 1$

venja · Сообщение **venja** » 22 фев 2008, 08:12

Красиво!

A ведь мог бы догадаться (это я o себе).
Ведь недавно на этом или другом (не помню) форуме
использовал этот прием для сравнения двух логарифмов c разными основаниями.

CD_Eater · Сообщение **CD_Eater** » 22 фев 2008, 11:46

Bo второй задаче радиус получился $\sqrt{\frac{67}{11}}$ , a вот как по радиусу посчитать площадь поверхности - к своему стыду не помню...

Nina · Сообщение **Nina** » 22 фев 2008, 14:17

------------

Nina · Сообщение **Nina** » 22 фев 2008, 14:52

CD_Eater писал(а):Source of the post
Bo второй задаче радиус получился $\sqrt{\frac{67}{11}}$ , a вот как по радиусу посчитать площадь поверхности - к своему стыду не помню...

Напишите пожалуйста решение

Nina · Сообщение **Nina** » 23 фев 2008, 07:43

CD_Eater · Сообщение **CD_Eater** » 23 фев 2008, 12:16

Решение длинное, но смысл простой - нужно обозначить все координаты буквами и составить систему уравнений.

Nina · Сообщение **Nina** » 23 фев 2008, 12:37

CD_Eater писал(а):Source of the post
Решение длинное, но смысл простой - нужно обозначить все координаты буквами и составить систему уравнений.

A если поподробнее...

yourdomain.com