Что такое рациональные числа

NT · Сообщение NT » 13 авг 2012, 19:39

Наверное я должен подробнее написать свой вопрос.
Я прочитал эту статью и это определение.
Но вот так и не понял - как высчитывать эту меру (т.е. как получается эта ДВОЙКА).

Dragon27 · Сообщение **Dragon27** » 13 авг 2012, 22:08

N T, вычислить? Тут скорее нужно доказать, что $\mu=2$ и $\alpha=\sqrt{2}$ удовлетворяют условиям в определении.
То есть, что $\mu=2$ - наименьшее число такое, что для любого $\epsilon>0$ для всех рациональных приближений $\frac{p}{q}$ с достаточно большим знаменателем верно, что $\lvert \sqrt{2} - \frac{p}{q} \rvert >\frac{1}{q^{\mu+\epsilon}}$

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 14 авг 2012, 04:28

Для квадратичных иррациональностей тот факт, что их мера иррациональности равна $$2$$

довольно легкий - посмотрите в Бухштабе.

Конкретно для $\sqrt{2}$ можете взять его разложение в ценую дробь и по формуле посчитать: $\sqrt{2}=[1;2;2;2;2;...]$ . Но лучше теоремы в книжке посмотреть.

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 14 авг 2012, 08:00

folk писал(а):Source of the post
Иррациональные = Алгебраические + Неалгебраические (трансцендентные)

Так не надо. Есть алгебраические, которые являются рациональными и даже целыми: $$x^2-1=0$$

.

folk писал(а):Source of the post
Иррациональные это множество алгебраических объединенное с неалгебраическими.

Это не верно! На основании сказанного выше. Можно сказать так, что среди иррациональных чисел встречаются, как алгебраические, так и трансцедентные, но объединение их не является множеством иррациональных чисел.

NT · Сообщение NT » 14 авг 2012, 10:00

Dragon27 писал(а):Source of the post
N T, вычислить? Тут скорее нужно доказать, что $\mu=2$ и $\alpha=\sqrt{2}$ удовлетворяют условиям в определении.
То есть, что $\mu=2$ - наименьшее число такое, что для любого $\epsilon>0$ для всех рациональных приближений $\frac{p}{q}$ с достаточно большим знаменателем верно, что $\lvert \sqrt{2} - \frac{p}{q} \rvert >\frac{1}{q^{\mu+\epsilon}}$

Да вот и в том дело, если так пробовать доказывать, то $\alpha$ может быть любым (т.е не обязательно иррациональным). Т.е. двойка выйдет и для целых например.
Короче, мне не понятна сама процедура доказательства.
Отдельно, что такое "с достаточно большим знаменателем" - как понимать эту категорию достаточно большим ?

Пример для $\alpha=1$
$\lvert 1 - \frac{9}{10} \rvert >\frac{1}{10^2}$
$\mu=2$

Dragon27 · Сообщение **Dragon27** » 14 авг 2012, 18:16

NT писал(а):Source of the post
Пример для $\alpha=1$
$\lvert 1 - \frac{9}{10} \rvert >\frac{1}{10^2}$
$\mu=2$

$\mu$ может быть равным и одному:
$\lvert 1 - \frac{9}{10} \rvert >\frac{1}{10^{1+\epsilon}}$
для любого $\epsilon$
А наша задача состоит в том, чтобы найти нижнюю границу всех возможных $\mu$ . Для рациональных чисел это 1.

NT · Сообщение NT » 14 авг 2012, 21:02

Dragon27 писал(а):Source of the post
NT писал(а):Source of the post
Пример для $\alpha=1$
$\lvert 1 - \frac{9}{10} \rvert >\frac{1}{10^2}$
$\mu=2$

$\mu$ может быть равным и одному:
$\lvert 1 - \frac{9}{10} \rvert >\frac{1}{10^{1+\epsilon}}$
для любого $\epsilon$
А наша задача состоит в том, чтобы найти нижнюю границу всех возможных $\mu$ . Для рациональных чисел это 1.

Ну я наверное глупый.
Как же тогда с этим:
$\lvert \sqrt{2} - \frac{9}{10} \rvert >\frac{1}{10^{1+\epsilon}}=\lvert 1.41 -0.9\rvert>\frac{1}{10^{1+\epsilon}}$
$\mu = 1$ ?

Dragon27 · Сообщение **Dragon27** » 14 авг 2012, 21:26

Для всех рациональных приближений $\frac{p}{q}$ (с достаточно большим $$q$$

; и для любого $\epsilon$ ).
$\lvert \sqrt{2} - \frac{14}{10} \rvert < \frac{1}{10^{1+\epsilon}}$
для маленького $\epsilon$ , меньше единицы

это не доказательство, разумеется.

NT · Сообщение NT » 14 авг 2012, 21:51

Хорошо.
Вот бы еще понять как получили $\mu \left( \pi \right)$ оценку сверху:
$\mu \left( \pi \right) \leqslant 7.6063$

Dragon27 · Сообщение **Dragon27** » 14 авг 2012, 21:54

Если есть желание понять, то надо просто углубиться в соответствующую литературу. Думаю, Sonic86 сможет вам что-то посоветовать.

yourdomain.com