Задача по стереометрии

Dakota · Сообщение **Dakota** » 17 фев 2008, 16:32

Bce вершины правильной четырехугольной призмы лежат на поверхности тетраэдра ABCD, ребра которого равны 2. При этом AB и CD параллельны ребрам основания призмы. Найти высоту призмы, если известно, что она в два раза короче каждого из ребер основания призмы.

CD_Eater · Сообщение **CD_Eater** » 18 фев 2008, 08:05

Dakota · Сообщение **Dakota** » 18 фев 2008, 15:21

CD_Eater писал(а):Source of the post
$\frac {4-\sqrt{2}} {7}$

Ответ правильный, a решение узнать можно и описание построения?

CD_Eater · Сообщение **CD_Eater** » 18 фев 2008, 16:50

Обозначаешь высоту через x, выражаешь через x координаты вершины призмы, эта точка должна лежать на грани тетраэдра (матрица 3 на 3 должна быть вырожденной), отсюда находишь x. Слишком простая задача.

Dakota · Сообщение **Dakota** » 18 фев 2008, 18:14

CD_Eater писал(а):Source of the post
эта точка должна лежать на грани тетраэдра

какая именно точка?

CD_Eater писал(а):Source of the post
матрица 3 на 3 должна быть вырожденной

при чем тут матрицы?

CD_Eater · Сообщение **CD_Eater** » 18 фев 2008, 20:33

Dakota писал(а):Source of the post
CD_Eater писал(а):Source of the post эта точка должна лежать на грани тетраэдра
какая именно точка?

Вершина призмы, однако

CD_Eater писал(а):Source of the post матрица 3 на 3 должна быть вырожденной
при чем тут матрицы?

Я так проверяю, лежит ли точка на плоскости, заданной тремя точками. Возможно, есть другие способы проверки, без матриц

malk · Сообщение **malk** » 19 фев 2008, 00:24

B задачах такого рода полезно брать тетраэдр из диагоналей граней куба.
Пересечение плоскости нижнего основания(для определенности ближнего к CD) призмы дает прямоугольник KLMN c периметром 4. Проведя перпендикуляры из точек вершин прямоугольника
к ребру AB получим треугольную призму KLPNMQ. Рассмотрим треугольник KLP c соотношением сторон $2:\sqrt{3}:\sqrt{3}$ . Если h- высота призмы: $KN=2h, KL=2-2h=2h+h\sqrt{2};$

Dakota · Сообщение **Dakota** » 19 фев 2008, 14:58

Задача решена, тема закрыта!

yourdomain.com