тригонометрическое уравнение

tata00tata · Сообщение **tata00tata** » 12 апр 2016, 20:15

Здравствуйте. Встретился пример. Привела решение.
$tg(2x-1)tg(3x-1)=1; tg(2x-1)=ctg(3x-1); \frac{cos(5x-2)}{sin(3x-1)cos(2x-1)}=0; cos(5x-2)=0; x=\frac{\pi+4+2{\pi}k}{10}$
Возникли 3 вопроса: первые 2 самые важные.
1. Для знаменателя который образовался после применения формулы не нужно же писать, что он не равен нулю, т.к. он искусственно получился, а одз требуется только для первоначального уравнения или не так?
2. Как узнать удовлетворяют ли корни ОДЗ $\\cos(2x-1)\ne0\\cos(3x-1)\ne0$ Я просто находила чему равен и не равен Х, приравнивала их, выражала k и получалось, что оно не принадлежит целым числам, следовательно корни удовлетворяют ОДЗ.
3. Можно ли решить по-другому?

P.S. Хотела отредактировать формулы,точнее перенести строки, а уже не доступно...

Albe · Сообщение **Albe** » 14 апр 2016, 10:58

Я решение не понял. Что-то как-то быстро и не понятно в том месте, где начинаются синусы и косинусы.

12d3 · Сообщение **12d3** » 14 апр 2016, 13:12

tata00tata писал(а):Source of the post 1. Для знаменателя который образовался после применения формулы не нужно же писать, что он не равен нулю, т.к. он искусственно получился, а одз требуется только для первоначального уравнения или не так?

Вообще тригонометрические уравнения противные, в том плане, что надо постоянно следить за ОДЗ и равносильностью переходов, дабы не потерять корней и не приобрести новых. В вашем случае первый переход неравносильный, потому что теоретически могли бы появиться лишние корни, где тангенс и котангенс равны нулю. Лучше сделать так:
$\tan\left ( 2x-1 \right ) \tan\left ( 3x-1 \right ) = 1 \,\, \Leftrightarrow \\ \frac{\sin\left ( 2x-1 \right )\sin\left ( 3x-1 \right )}{\cos\left ( 2x-1 \right )\cos\left ( 3x-1 \right )} = 1 \Leftrightarrow \\ \frac{\sin\left ( 2x-1 \right )\sin\left ( 3x-1 \right ) - \cos\left ( 2x-1 \right )\cos\left ( 3x-1 \right )}{\cos\left ( 2x-1 \right )\cos\left ( 3x-1 \right )} = 0 \Leftrightarrow \\ \frac{\cos\left ( 5x-2 \right )}{\cos\left ( 2x-1 \right )\cos\left ( 3x-1 \right )} = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \cos\left ( 5x-2 \right ) = 0 \\ \cos\left ( 2x-1 \right ) \neq 0 \\ \cos\left ( 3x-1 \right ) \neq 0 \end{matrix}\right.$
Это самый надежный метод - везде делать только равносильные переходы. Собственно, это и ответ на третий пункт.

tata00tata писал(а):Source of the post Я просто находила чему равен и не равен Х, приравнивала их, выражала k и получалось, что оно не принадлежит целым

Можете поподробней расписать, а то подозреваю, что у вас могла быть ошибка.

Albe · Сообщение **Albe** » 14 апр 2016, 15:11

По поводу другого способа решения - можно так, если не ошибаюсь
$$tg(2x-1)=ctg(3x-1)$$

$tg(2x-1)=tg(\frac{\pi}{2}-(3x-1))$
Далее начинаем думать, когда таргенсы равны:
$tg(a)=tg(b) \Leftrightarrow a=b+\pi k$
(чтобы это вспомнить, достаточно вспомнить тангенс на тригонометрическом круге)
Отсюда сразу находите ответ, с учётом ОДЗ на тангенсы.

tata00tata · Сообщение **tata00tata** » 18 апр 2016, 20:40

Я прошу прощения за перерыв. Мне на почту всегда приходило письмо, что мне оставили комментарий, а в этот раз не пришло,я думала никто мне не помог, ток сегодня решила проверить))

tata00tata · Сообщение **tata00tata** » 18 апр 2016, 20:49

Albe писал(а):Source of the post Я решение не понял. Что-то как-то быстро и не понятно в том месте, где начинаются синусы и косинусы.

есть формула $ctg\alpha-tg\alpha=\frac{cos(\alpha+\beta)}{sin\alpha\cdot cos\beta}$

tata00tata · Сообщение **tata00tata** » 18 апр 2016, 21:14

12d3 писал(а):Source of the post Можете поподробней расписать, а то подозреваю, что у вас могла быть ошибка.

Вот, например, $x=\frac{\pi+4+2\pi k}{10}=\frac{2\pi+8+4\pi k}{20}\\2x-1\ne\frac{\pi}{2}+\pi k\\x\ne\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}+\frac{\pi k}{2}=\frac{5\pi+10+10\pi k}{20}\\5\pi+10+10\pi k=2\pi+8+4\pi k\\k=-\frac{1}{2}-\frac{1}{3\pi}$

yourdomain.com