Произведение целой и дробной частей

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 07 апр 2011, 11:20

$a_{0},\ a_{1},\ a_{2},\dots$ - последовательность вещественных чисел, и для любого целого неотрицательного $$k$$

выполняется

$a_{k+1}=\left[a_{k}\right]\cdot\left\{a_{k}\right\}$ (квадратные скобки - целая часть, фигурные - дробная).

Верно ли, что существует такое число $$ j $$

, что для каждого $i\geq j$ выполняется $a_{i+2}= a_{i}$ ?

СергейП

Xenia1996 писал(а):Source of the post $a_{0},\ a_{1},\ a_{2},\dots$ - последовательность вещественных чисел, и для любого целого неотрицательного выполняется

$a_{k+1}=\left[a_{k}\right]\cdot\left\{a_{k}\right\}$ (квадратные скобки - целая часть, фигурные - дробная).

Верно ли, что существует такое число , что для каждого $i\geq j$ выполняется $a_{i+2}= a_{i}$ ?

A эта последовательность не сводится к последовательности 0-ей?
Для отрицательного a0 надо рассмотреть.

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 07 апр 2011, 11:31

СергейП писал(а):Source of the post
A эта последовательность не сводится к последовательности 0-ей?
Для отрицательного a0 надо рассмотреть.

B том-то и олимпиадность задачи, что числа не обязаны быть положительными.

Arzamasskiy · Сообщение **Arzamasskiy** » 07 апр 2011, 11:35

Можно заметить, что абсолютная величина a(k+1) всегда меньше a(k) (из-за того, что дробная часть всегда меньше единицы). Поэтому в какой-то момент a(n) станет меньше 1. После этого все члены последовательности будут равны 0.

upd. Для отрицательных чисел можно попробовать доказать так:
$a_k=-a-\Delta$
$a_{k+1}=-(a+1)+\Delta+a \Delta$
$a_{k+2}=-\Delta(a+1)^2$ - при достаточно малых дельта.
Видно, что при малых дельта абсолютная величина чисел последовательности будет уменьшаться. ПРи больших дельта применимо указанное выше рассуждение.

B итоге, последовательность сведется к последовательности нулей.

СергейП

Xenia1996 писал(а):Source of the post B том-то и олимпиадность задачи, что числа не обязаны быть положительными.

Да не сильно она на олимпиадную похожа, для отрицательных целая часть по модулю также убывает, пока n-ый член не попадет в интервал от -1 до 0, a там уже можно показать чередование через 1 член, ну или все 0.

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 07 апр 2011, 12:16

Arzamasskiy писал(а):Source of the post
Можно заметить, что абсолютная величина a(k+1) всегда меньше a(k) (из-за того, что дробная часть всегда меньше единицы).

Контрпример:

$$a_0=-1.1$$

Arzamasskiy · Сообщение **Arzamasskiy** » 07 апр 2011, 12:21

Xenia1996
$-1.1 \to -1.8 \to -0.4$
Когда величина числа находится между -1 и 0, то последовательность сводится к $-a \to -(1-a) \to -a...$

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 07 апр 2011, 12:24

Arzamasskiy писал(а):Source of the post
Xenia1996
Для подобных случаев я выше попытался объяснить, что все равно получится 0.
$-1.1 \to -1.8 \to -0.4 \to 0$

Единичный пример ничего не доказывает.
Для решения задачи можно использовать неравенство Коши.

СергейП

Arzamasskiy писал(а):Source of the post Когда величина числа находится между -1 и 0, то последовательность сводится к $-a \to -(1-a) \to -a...$

Вот-вот, это и имелось в виду.

yourdomain.com