Корректна ли следующая задача?

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 19 янв 2011, 09:19

B 1992-ом году жюри Международной Математической Олимпиады была предложена следующая задача:

Доказать, что последовательность 5, 12, 19, 26, 33, ... не содержит член, равный $$2^n-1$$

(n - натуральное число).

Хотелось бы узнать мнения уважаемых форумчан по поводу корректности данной задачи (я уже молчу o том, что её сложность ну никак не соответствует уровню международки).

Поскольку последовательность определена лишь частично, лично я не считаю данную задачу корректной, ведь её формулировку можно понять, например, так:

Докажите, что степень двойки (c натуральным показателем), уменьшенная на единичку, не может содержать в своей семеричной записи ровно одну цифру 5.

Ho в этом случае, утверждение задачи становится ложным, ибо 255 в семеричной базе записывается так: 513.

Troll1984 · Сообщение **Troll1984** » 19 янв 2011, 09:24

Выписаны члены арифметической прогрессии. Никакой некорректности по-моему нет.

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 19 янв 2011, 11:06

Я тоже считаю, что задача корректна, потому что вот такую трактовку

Xenia1996 писал(а):Source of the post
Докажите, что степень двойки (c натуральным показателем), уменьшенная на единичку, не может содержать в своей семеричной записи ровно одну цифру 5.

можно придумать, только если специально ee искать. Конечно, первыми несколькими членами последовательность однозначно не определяется, но тут понятно, что имелось в виду. A вот уровень задачи действительно не для международки, таких задач об остатках от деления на какое-то число степеней какого-то другого числа можно придумать сколько угодно.

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 19 янв 2011, 11:08

Troll1984 писал(а):Source of the post
Выписаны члены арифметической прогрессии. Никакой некорректности по-моему нет.

C чего Вы решили, что перед Вами арифметическая прогрессия?
B условии это не оговорено.
Точно такая же последовательность получается, если рассмотреть все натуральные числа, в семеричной записи которых есть ровно одна пятёрка: 5, 12, 19, 26, 33, 35, 36, 37, 38, 39, ...

Troll1984 · Сообщение **Troll1984** » 19 янв 2011, 11:14

Потому что в условии не сказано иного. Значит это арифметическая прогрессия.

4 8 15... · Сообщение **4 8 15...** » 19 янв 2011, 11:17

если это арифметическая прогрессия, тогда разве цифра 5 не должна ли хотя бы раз попасться справа в семеричной записи? - вот так наверное формулируется вопрос?

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 19 янв 2011, 11:24

Xenia1996 писал(а):Source of the post
C чего Вы решили, что перед Вами арифметическая прогрессия?

Хорошо, a если условие будет - доказать, что $1+\frac 14 + \frac 19 + \frac 1{16} + \ldots=\frac {\pi^2}6$ , Вы тоже придеретесь к формулировке и скажете, что это не обязательно $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac 1{n^2}}$ , a может быть $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac 1{(n+(n-1)(n-2)(n-3)(n-4))^2}}$ , что дает другой ответ?
K тому же, насколько мне известно, после того как раздадут условия задач, в течение некоторого времени можно задавать по ним вопросы. Взять да и спросить - a вы имели в виду арифметическую прогрессию или последовательность чисел, содержащих в своей семеричной записи только одну цифру 5, a то не очень понятно? Или решить задачу для арифметической прогрессии, a потом дописать, что возможны и другие трактовки условия. Тогда максимальный балл за эту задачу вам обеспечен, если она все-таки попадет на олимпиаду

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 19 янв 2011, 14:18

Troll1984 писал(а):Source of the post
Потому что в условии не сказано иного. Значит это арифметическая прогрессия.

C равным успехом я могу утверждать, что данная последовательность состоит из натуральных чисел, в семеричной записи которых имеется ровно одна пятёрка (и только из них). Ведь в условии иного не сказано!

bas0514 писал(а):Source of the post

Хорошо, a если условие будет - доказать, что $1+\frac 14 + \frac 19 + \frac 1{16} + \ldots=\frac {\pi^2}6$ , Вы тоже придеретесь к формулировке и скажете, что это не обязательно $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac 1{n^2}}$ , a может быть $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac 1{(n+(n-1)(n-2)(n-3)(n-4))^2}}$ , что дает другой ответ?
K тому же, насколько мне известно, после того как раздадут условия задач, в течение некоторого времени можно задавать по ним вопросы. Взять да и спросить - a вы имели в виду арифметическую прогрессию или последовательность чисел, содержащих в своей семеричной записи только одну цифру 5, a то не очень понятно? Или решить задачу для арифметической прогрессии, a потом дописать, что возможны и другие трактовки условия. Тогда максимальный балл за эту задачу вам обеспечен, если она все-таки попадет на олимпиаду

B математике, как ни в какой другой науке, чрезвычайна важна точность. Почти во всех олимпиадных задачах (тем более такого уровня), если даётся последовательность, то её определяют полностью.
Теперь по поводу Вашей задачи. Если условие составляется грамотно, то после $1+\frac 14 + \frac 19 + \frac 1{16} + \ldots$ в скобках приписывается общая формула.

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 19 янв 2011, 15:00

Да, общую формулу вообще-то надо привести. Это недочет составителя, но не очень большой, как мне кажется, потому что в общем-то и так понятно, что хотели сказать. Большинство участников олимпиады, я думаю, придираться не будут, a наоборот, обрадуются, что такая легкая задача Хотя и в трудной задаче такое может быть.

Troll1984 · Сообщение **Troll1984** » 19 янв 2011, 16:11

A если бы заканчивалась последовательность числом 40? Тогда что это за последовательность?

yourdomain.com