уравнение

паникер

Подскажите пожалуйста способ решения. Пробовал По Горнеру не подобрать корень, графически точный не найти..

$$(x^2-x-1)^2-x^3=5$$

Георгий

Раскрыл, получил:
$$x^4-3 x^3-x^2+2 x-4 = 0$$

Действительные корни подходят такие:
$x_{1,2}=1 \pm \sqrt{5}$

Это вытекает из того, что $$(x^2-x+1)(x^2-2x-4)=0$$

Первый сомножитель дает комплексные корни.
Задачу решал методом неопределенных коэффициентов, предположив:

$$ (x^2+Ax+B)(x^2+Cx+D)=0 $$

Если раскрыть скобки и сопоставить c первым уравнением в данном посте, то выявим систему:

BD=-4
C+A=-3
D+AC+B=-1
AD+BC=2

Решая ee, находим: A=-1 ; B=1 ; C=-2 ; D=-4

Вот и вся история.

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 29 окт 2010, 10:09

[quote=паникер в t124841 (deleted)]
Подскажите способ, по Горнеру не подобрать корень

$$(x^2-x-1)-x^3=5$$

[/quote]
По схеме Горнера делят многочлен на многочлен, a подбирают корни по теореме Безу. B данном случае свободный член равен -6 и надо проверить целые делители свободного члена +-1, +-2, +-3,+-6!

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 29 окт 2010, 10:39

Разложить можно так:
$(x^2-x-1)^2-(x^3+1)-2^2=0 \\ (x^2-x-1)^2-2^2-(x+1)_(x^2-x+1)=0 \\ (x^2-x-1-2)(x^2-x-1+2) - (x+1)(x^2-x+1)=0 \\ (x^2-x+1)(x^2-x-3-x-1)=0 \\ (x^2-x+1)(x^2-2x-4)=0$

Георгий

Нууу! Это надо быть Эллипсоидом-виртуозом! Хотя, красиво получилось!

YURI · Сообщение **YURI** » 29 окт 2010, 10:48

Георгий писал(а):Source of the post Нууу! Это надо быть Эллипсоидом-виртуозом! Хотя, красиво получилось!

Сам вид уравнения подсказывал, как надо решать.

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 29 окт 2010, 10:48

Георгий писал(а):Source of the post
Эллипсоидом-виртуозом!

Спасибо, Георгий!

Таланов

YURI писал(а):Source of the post
Сам вид уравнения подсказывал, как надо решать.

Возможно, но далеко не всем. Лично мне не подсказал и похоже всем другим заглянувшим сюда, тоже. A задним умом многие крепки.

паникер

Спасибо огромное! Тоже пытался разложить, но где-то заплутал..
Оказалось красивое уравнение -красивое решение.
Ho девятиклассник не всякий решит!
СПАСИБО!

Георгий

Расскажу, как можно решить задачу без алгебры. Сначала строим график исходного уравнения (Рис.1)
Видим два действительных корня. Укрупним их (Рис. 2 и Рис. 3).
Обнаруживаем, что это примерно -1,236 и 3,236.
Тут нужно просто догадаться, что $\sqrt{5}=2.23606...$
Несложно прикинуть что: $\,\, x_1=1-\sqrt{5} \,\,$ и $\,\, x_2=1+\sqrt{5} \,\,$
(подстановка в исходник показывает - наша гипотеза верна)
Тогда будут известны два сомножителя в чреве полинома, который я привел в своем посте #2. Перемножив корни, получим:
$$(x-x_1)(x-x_2) = x^2-2x-4 $$

Второй полином найдем простым делением исходного выражения на последний квадратный трехчлен. A там уж - и комплексные корни вытянем.
Такое девятикласснику вполне по плечу.

yourdomain.com