Что такое множество?

vipakoz · Сообщение **vipakoz** » 06 дек 2016, 14:14

vipakoz писал(а):Source of the post Это квант действия, - основа всех основ бытия.

Здесь соврал. Квант действия, элемент всех множеств во всеобъемлющем множестве.

vipakoz · Сообщение **vipakoz** » 06 дек 2016, 14:19

grigoriy писал(а):Source of the post С бесконечностью решили сразиться... УмнО ли это?

Более чем. Разум, это умение решать задачи. Из чего следует, решение любых задач, делает мозгоносителя умнее!

12d3 · Сообщение **12d3** » 06 дек 2016, 18:00

Anik писал(а):Source of the post Материя в принципе дискретна!

Ага, расскажите мне про дискретность электромагнитного поля. Не стоит ориентироваться на википедийную статью из 10 строк, в которую неизвестный хвилософ добавил эту фразу.

Anik писал(а):Source of the post а вот определение непрерывности - непонятно.

И никогда не будет понятно. Потому что в математике нет определения непрерывности вообще. Есть непрерывные функции, непрерывные отображения и т.д.

Anik писал(а):Source of the post Теперь ответьте на вопрос: что делает с операндами оператор I ?

Возьмите отрезок. Выкиньте из него две крайние точки. Получится интервал. Вот этот оператор делает из отрезка интервал. Если что, это только частный случай. Можете взять круг и выкинуть из него окружность(самую внешнюю).

Anik · Сообщение **Anik** » 07 дек 2016, 07:39

12d3 писал(а):Source of the post Возьмите отрезок. Выкиньте из него две крайние точки. Получится интервал. Вот этот оператор делает из отрезка интервал. Если что, это только частный случай. Можете взять круг и выкинуть из него окружность(самую внешнюю).

Вы или не поняли вопрос, или увиливаете от ответа. Спрошу ещё раз.

Anik писал(а):Source of the post
Теперь сравним аксиомы со свойствами множеств (сравните два столбца).
$I(A\cap B)=IA\cap IB\qquad (A\cap B)=A\cap B$
$IA\subset A\qquad \qquad \qquad\qquad A\subset A$
$IIA=I A\qquad \qquad \qquad\quad A= A$
$IX=X\qquad \qquad \qquad\qquad X= X$
Теперь ответьте на вопрос: что делает с операндами оператор ?

Сравните ещё два столбца:
$A\cup A=A$ $A\cap A=A$
$A\cup B=B\cup A$ $A\cap B=B\cap A$
$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
из сравнения этих столбцов нельзя определить чем операция $\cup$ отличается от операции $\cap$ , но:
$A\cup \varnothing =A$ $A\cap \varnothing =\varnothing$
$A\cup X=X$ $A\cap X=A$
где $$X$$

- универсальное множество. Теперь видно, в чём различие операций $\cup$ и $\cap$ . А вот из системы аксиом $$(i_1)-(i_4)$$

непонятно, что делает оператор $$I$$

, он ничего не меняет, ни на что не влияет.
Допустим вождь некоторого племени указывает ночью на Марс и говорит "бобока". Что он имеет в виду: имя планеты "Марс", просто "планету" или вообще звезду или светило? Вот если он укажет на другие звёзды и тоже скажет "бобока", то станет понятно, что для него хоть планета, хоть звезда - всё едино.
И ещё, мне интересно, как вы глядя на систему аксиом сделали вывод, что речь идет именно об отрезке или о круге без ограничивающей окружности? Это какой абстрактной фантазией нужно при этом обладать? Мне этого не дано понять...
И ещё интересно: вот у палки два конца. Если один конец отрезать, то сколько концов станет у палки? А если отрезать два конца, то палка станет бесконечной? Если у отрезка "выкинуть" крайние точки, то отрезок будет без крайних точек? У него будут только внутренние точки, а крайних не будет? А если у отрезка "выкинуть" по две точки с краю, то что получится? Внутренность внутренности?
Я хочу занять очередь за пивом, но крайнего у очереди "выкинули", НЕТ У ОЧЕРЕДИ КРАЙНЕГО!

12d3 · Сообщение **12d3** » 07 дек 2016, 09:52

Anik писал(а):Source of the post А вот из системы аксиом (i_1)-(i_4) непонятно, что делает оператор I, он ничего не меняет, ни на что не влияет.

Рассморим множество, состоящее из двух элементов $X = \left \{ a,b \right \}$ . Зададим действие оператора $$I$$

. Нам нужно для каждого подмножества указать его внутренность, т.е. каждому подмножество поставить в соответствие другое подмножество, причем таким образом, чтобы выполнялись 4 аксиомы.
Давайте сделаем это так:
$\varnothing \rightarrow \varnothing \\ \left \{ a \right \} \rightarrow \left \{ a \right \} \\ \left \{ b \right \} \rightarrow \varnothing \\ \left \{ a,b \right \} \rightarrow \left \{ a,b \right \}$
Стрелочкой я обозначил действие оператора. Проверьте, что заданная таким образом топология удовлетворяет вышенаписанным аксиомам. Множество из двух элементов с заданной именно таким образом топологией называется связным двоеточием.
Можно задать другим образом топологию:
$\varnothing \rightarrow \varnothing \\ \left \{ a \right \} \rightarrow \left \{ a \right \} \\ \left \{ b \right \} \rightarrow \left \{ b \right \} \\ \left \{ a,b \right \} \rightarrow \left \{ a,b \right \}$
Вы опять же можете убедиться, что 4 аксиомы выполняются. Множество с топологией, для которой каждое подмножество совпадает со своей внутренностью, называется дискретным топологическим пространством.
Есть ли еще варианты, как задать топологию на этом множестве?

Anik писал(а):Source of the post И ещё, мне интересно, как вы глядя на систему аксиом сделали вывод, что речь идет именно об отрезке или о круге без ограничивающей окружности?

Это я привел пример естественной топологии (это термин) в евклидовом пространстве. Разумеется, я знал, каким образом она задается, т.е. как любому подмножеству евклидова пространства сопоставить его внутренность. В общем суть: для любого множества есть можно задать топологию кучей разных способов, но не все они интересны. Вариант, когда каждому подмножеству сопоставляется оно само - только один из возможных.

Anik писал(а):Source of the post где X - универсальное множество.

Универсального множества нет.

Anik писал(а):Source of the post Если у отрезка "выкинуть" крайние точки, то отрезок будет без крайних точек? У него будут только внутренние точки, а крайних не будет?

Да. Да. Если точнее, то такие крайние точки называются граничными.

Anik писал(а):Source of the post А если у отрезка "выкинуть" по две точки с краю, то что получится?

Вы имели в виду у отрезка уже без крайних точек выкинуть еще раз крайние точки? Этого нельзя сделать, у него их просто нет.

Anik · Сообщение **Anik** » 09 дек 2016, 07:18

12d3 писал(а):Source of the post Рассморим множество, состоящее из двух элементов $X = \left \{ a,b \right \}$ . Зададим действие оператора . Нам нужно для каждого подмножества указать его внутренность, т.е. каждому подмножество поставить в соответствие другое подмножество, причем таким образом, чтобы выполнялись 4 аксиомы.
Давайте сделаем это так:
$\varnothing \rightarrow \varnothing \\ \left \{ a \right \} \rightarrow \left \{ a \right \} \\ \left \{ b \right \} \rightarrow \varnothing \\ \left \{ a,b \right \} \rightarrow \left \{ a,b \right \}$
Стрелочкой я обозначил действие оператора. Проверьте, что заданная таким образом топология удовлетворяет вышенаписанным аксиомам. Множество из двух элементов с заданной именно таким образом топологией называется связным двоеточием.

Вы можете внятно объяснять? Стрелочкой вы задали "действие оператора" взятия внутренности $$I?$$

Вообще стрелочкой принято обозначать импликацию "если... то...". Разве станет понятней, если я знаком "+" обозначу деление?
Лично я вижу, что заданное вами "действие оператора" не совпадает с системой аксиом $$(i_1)-(i_4)$$

. В частности о пустом множестве в первоначальной системе аксиом ничего не указано. Почему из $\left\{b\right\}\rightarrow \varnothing$ ? Как это записать с помощью оператора $$I?$$

12d3 · Сообщение **12d3** » 09 дек 2016, 10:00

Anik писал(а):Source of the post Как это записать с помощью оператора I?

Пожалуйста, раз вас стрелочка не устраивает..
$I\varnothing = \varnothing \\ I\left \{ a \right \} = \left \{ a \right \} \\ I\left \{ b \right \} = \varnothing \\ I\left \{ a,b \right \} = \left \{ a,b \right \}$

Anik писал(а):Source of the post Лично я вижу, что заданное вами "действие оператора" не совпадает с системой аксиом (i_1)-(i_4).

И не должна совпадать. Я предлагал вам проверить, что аксиомы выполняются для заданной таким образом операции взятия внутренности. Это означает следующее. Берем первую аксиому, подставляем туда всевозможные значения $$A$$

и

, убеждаемся, что для всех этих значений равенство выполняется. Потом берем вторую акисому, подставляем туда все возможные значения $$A$$

, тоже убеждаемся, что для всех значений равенство выполняется. Потом так же поступаем с остальными аксиомами. Тот факт, что для задания действия операции взятия внутренности потребовалось 4 строчки, никак не связано с количеством аксиом. Оно связано с количеством подмножеств у множества $$X$$

, коих 4 штуки. Если бы я взял множество из трех элементов, то было бы 8 строчек.

Anik · Сообщение **Anik** » 10 дек 2016, 05:38

12d3 писал(а):Source of the post $I\varnothing = \varnothing \\ I\left \{ a \right \} = \left \{ a \right \} \\ I\left \{ b \right \} = \varnothing \\ I\left \{ a,b \right \} = \left \{ a,b \right \}$

Вы рассматриваете множество $X=\left \{a,b\right\}$ состоящее из двух элементов.
Почему у вас внутренность множества, состоящего из одного элемента $$a$$

, равна множеству, состоящему из одного элемента $$a$$

(вторая строчка), а внутренность множества состоящего из одного элемента $$b$$

равна пустому множеству (третья строка)? У вас что, $\left \{b \right \}=\varnothing ?$

bulygin69 · Сообщение **bulygin69** » 10 дек 2016, 07:37

Anik, потому что I{b} - не то же самое, что {b}.

Anik · Сообщение **Anik** » 10 дек 2016, 07:47

bulygin69 писал(а):Source of the post Anik, потому что I{b} - не то же самое, что {b}.

А почему тогда I{a} - то же самое, что {a}? Посмотрите на вторую строчку.
По вашему, свойство элемента зависят от того, какой буквой мы его обозначим?

yourdomain.com