yourdomain.com

Краткое описание форума
http://e-science11.ru/test_forum/

Аналитическая геометрия. Несколько вопросов

http://e-science11.ru/test_forum/viewtopic.php?f=16&t=93418

Страница 1 из 1

Аналитическая геометрия. Несколько вопросов

Добавлено: 15 май 2012, 18:44
citromon
Доброго времени суток.

Подскажите, пожалуйста, как решить этот пример.

Как методом Лагранжа привести к каноническому виду?
$$5x^2+2y^2+5z^2-4xy-4yz-2zx+10x-4y+2z+4=0$$

Аналитическая геометрия. Несколько вопросов

Добавлено: 15 май 2012, 19:42
mihailm
выпишите все слагаемые с иксом

Аналитическая геометрия. Несколько вопросов

Добавлено: 15 май 2012, 21:03
citromon
Спасибо за ответ.

$$5x^2-4xy-2zx+10x$$

Что делать дальше?

Аналитическая геометрия. Несколько вопросов

Добавлено: 15 май 2012, 21:20
ALEX165
См. сюда: [url=http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E5%F2%EE%...F3_%E2%E8%E4%F3]http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E5%F2%EE%...F3_%E2%E8%E4%F3[/url]

Аналитическая геометрия. Несколько вопросов

Добавлено: 15 май 2012, 21:34
citromon
Я этот линк просматривал задолго до создания темы. Ничего не ясно.

Аналитическая геометрия. Несколько вопросов

Добавлено: 16 май 2012, 08:31
ALEX165
citromon писал(а):Source of the post
Я этот линк просматривал задолго до создания темы. Ничего не ясно.

Смысл там простой. Вхождение переменной $$x_1$$ в выражение квадратичной формы $$Q(x_1,x_2,...,x_n)$$ имеет вид:
$$Q=a_{11} x_1 ^2+Ax_1+B$$,
где: $$A$$ и $$B$$ от $$x_1$$ не зависят, но:
$$a_{11} x_1 ^2+Ax_1+B=a_{11}(x_1+(1/2a_{11})A)^2-(1/4a_{11})A^2+B$$
Если теперь обозначить:
$$Q_1=-(1/4a_{11})A^2+B$$, то:
$$Q=a_{11}(x_1+(1/2a_{11})A)^2+Q_1$$,
при этом:$$Q_1$$ от $$x_1$$ не зависит.
Сделав теперь замену: $$u_1= (x_1+(1/2a_{11})A)$$, сводим задачу к приведению к каноническому виду формы с на 1 меньшим числом аргументов $$Q_1$$

В Вашем конкретном случае mihailm начал Вам подсказывать эти последовательные действия:
$$Q=5x^2+2y^2+5z^2-4xy-4yz-2zx+10x-4y+2z+4=5(x^2-(2/2*5)(4y+2z-10)x)+...=$$
$$=5(x-(1/2*5)(4y+2z-10))^2+Q_1$$
первая замена будет:
$$u_1=x-(1/2*5)(4y+2z-10))$$, и:
$$Q=5u_1 ^2+Q_1$$.
$$Q_1$$ от $$x_1$$ не зависит и процедуру повторяем для остальных переменных.

Аналитическая геометрия. Несколько вопросов

Добавлено: 04 июн 2012, 18:38
citromon
Спасибо за ответ, ALEX165.

Подскажите, пожалуйста, как найти координаты точки, симметричной лежащей на квадрике точке относительно данной квадрики?

Т.е. дана точка P, лежащая на квадрике. Как найти координаты точки Q, симметричной точке P относительно данной квадрики?

Аналитическая геометрия. Несколько вопросов

Добавлено: 04 июн 2012, 19:08
ALEX165
То есть надо найти точку на данной квадрике, симметричную для данной точки на той же квадрике, относительно главных осей этой квадрики.
Так?

Аналитическая геометрия. Несколько вопросов

Добавлено: 04 июн 2012, 19:11
citromon
Да, так.

Может, кто-нибудь хотя бы идею подкинет?

Аналитическая геометрия. Несколько вопросов

Добавлено: 05 июн 2012, 05:46
ALEX165
citromon писал(а):Source of the post
Да, так.

Тогда, прежде всего, если квадрика Вам задана в евклидовом пространстве как геометрический объект, надо ортогональным преобразованием и сдвигом привести её к каноническому виду и тем самым найти её главные оси.
А затем искать симметричные точки относительно этих осей - одной, двух и трёх. Симметричная точка относительно одной оси получается как решение совместно уравнения этой квадрики и ур-я прямой, проходящей через заданную точку и перпендикулярную оси (проходящую через эту ось)... А можно просто проверить, принадлежит ли квадрике точка, у которой две остальные координаты равны соответствующим координатам заданной точки с обратным знаком (в координатной системе главных осей).
Часовой пояс: UTC UTC
Страница 1 из 1
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Limited
https://www.phpbb.com/