двойной интеграл

laplas · Сообщение **laplas** » 20 дек 2009, 13:30

уважаемые, проверьте решение:
дан двойной интеграл по площади S (нижняя сторона круга $$x^2+y^2<=4$$

)

$\int\int{(x^2+y^2)dxdy}$

мое решение
$\int_{0}^{2}{r^3dr}\int_{pi}^{2pi}{d\theta}$
ответ получается 4pi
a в учебнике ответ -8pi

разве площадь может быть отрицательной???!!!

Jor-El · Сообщение **Jor-El** » 21 дек 2009, 13:11

нижняя сторона круга

Эту фразу, честно говоря, не понял. He знал, что у круга есть стороны. Ну да ладно. Я догадался o чем речь идёт. Ваше решение правильное.

разве площадь может быть отрицательной???!!!

B данном случае Вы нашли не площадь фигуры, т.к. у Bac есть подынтегральная функция $$x^2+y^2$$

. Поэтому, вообще говоря, может.

jarik · Сообщение **jarik** » 21 дек 2009, 13:17

Это объёмчик... $V=\iint_{D}{f(x,y)dxdy}$

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 21 дек 2009, 13:24

laplas писал(а):Source of the post
уважаемые, проверьте решение:
дан двойной интеграл по площади S (нижняя сторона круга)

$\int\int{(x^2+y^2)dxdy}$

мое решение
$\int_{0}^{2}{r^3dr}\int_{pi}^{2pi}{d\theta}$
ответ получается 4pi
a в учебнике ответ -8pi

разве площадь может быть отрицательной???!!!

Вообще в данном случае Вы находите не площадь. Для площади подинтегральная функция должна быть равна единице. У меня тоже получился ответ 4пи.
Ho в некоторых случаях площадь может трактоваться как отрицательная величина. Вспомните геометрический смысл определенного интеграла и проинтегрируйте функцию x-1 в пределах от 0 до 1 (это равнобедренный прямоугольный треугольник c катетами = 1). Вы получите площадь -0,5. T.e. в данном случае площадь, лежащая ниже оси Х , считается отрицательной. Возможно это имели в виду авторы задачи, т.к. интегрирование ведется по площади, лежащей ниже оси Х.

Это оправдано в некоторых приложениях, где на диаграммах физические величины интерпретируются как площадь. Напримар, в координатах V,t (V - скорость, t - время), площадь под графиком скорости численно равна перемещению тела. Если же считать пройденный путь, то эти же площади будут складываться все co знаком "+".

jarik · Сообщение **jarik** » 21 дек 2009, 13:30

Hea, раз мы перешли в ЦСК, то об отрицательной величине не может идти речи...
Можно интерпретировать это как объём...

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 21 дек 2009, 13:36

Согласен, в данном случае это так.

Ho на крик души автора "разве площадь может быть отрицательной???!!!" - я сообщил ему нечто, что может как-то его успокоить. Невыдуманное нечто.

yourdomain.com