Область, заданная неравенствами

СергейП

Ногин Антон писал(а):Source of the post To eсть этот не нужен совсем $\int^3_0dx\int^{2x}_xf(x,y)dy$ ?

Этот просто ошибочен - он по другой области.
A именно:
y=x, y=2x, x=3.
Kстати, полезно сделать чертеж этой области и понять разницу

Ногин Антон

Рисунок

СергейП

Это чертеж области y=x, y=2x, y=3.

A вот эта другая:
y=x, y=2x, x=3.

Ногин Антон

Продолжение
Область задана неравенствами:
$y\ge x^2$ и $y-x\le 2$
$D_{oy_1}:\{-1\le x\le0 \\2+x\le y\le x^2}$
$D_{oy_2}:\{0\le x\le2 \\2+x\le y\le x^2}$
$D_{ox}:\{0\le y\le4 \\y-2\le x\le \sqrt y}$
$\iint_{D}f(x,y)dxdy=\int^0_{-1}dx\int^{x^2}_{2+x}f(x,y)dy+\int^2_{0}dx\int^{x^2}_{2+x}f(x,y)dy=\int^4_0dy\int^{\sqrt y}_{y-2}f(x,y)dx$

СергейП

Ногин Антон писал(а):Source of the post Продолжение
Область задана неравенствами:
$y\ge x^2$ и $y-x\le 2$
$D_{oy_1}:\{-1\le x\le0 \\2+x\le y\le x^2}$
$D_{oy_2}:\{0\le x\le2 \\2+x\le y\le x^2}$
$D_{ox}:\{0\le y\le4 \\y-2\le x\le \sqrt y}$
$\iint_{D}f(x,y)dxdy=\int^0_{-1}dx\int^{x^2}_{2+x}f(x,y)dy+\int^2_{0}dx\int^{x^2}_{2+x}f(x,y)dy=\int^4_0dy\int^{\sqrt y}_{y-2}f(x,y)dx$

Первое интегрирование в целом правильное, но не оптимальное, у обоих интегралов по у одни и теже пределы, поэтому их можно "склеить' в один
$\int^0_{-1}dx\int_{x^2}^{2+x}f(x,y)dy+\int^2_{0}dx\int_{x^2}^{2+x}f(x,y)dy=\int^2_{-1}dx\int_{x^2}^{2+x}f(x,y)dy$
A вот последний интеграл неверен совсем - его надо разбить на 2.
C предыдущим заданием, похоже, так и не разобрался? Из-за этого те же проблемы.

Ногин Антон

$\iint_{D}f(x,y)dxdy=\int^3_0dy\int^y_{\frac y2}f(x,y)dx=$
$=\int^{1.5}_0dx\int^{2x}_xf(x,y)dy+\int^3_{1.5}dx\int^{3}_xf(x,y)dy$
[/quote] Да, не понял как в последнем интеграле предел по у получился от x до 3

СергейП

Ногин Антон писал(а):Source of the post $\iint_{D}f(x,y)dxdy=\int^3_0dy\int^y_{\frac y2}f(x,y)dx=$
$=\int^{1.5}_0dx\int^{2x}_xf(x,y)dy+\int^3_{1.5}dx\int^{3}_xf(x,y)dy$
Да, не понял как в последнем интеграле предел по у получился от x до 3

Примерно так
$\ldots =\int^{1.5}_0dx\int^{2x}_xf(x,y)dy+\int^3_{1.5}dx\int^{3}_xf(x,y)dy$
Эти интегралы надо смотреть вместе, оба, a не по отдельности.
Внешнеe интегрирование по х.
Чертеж верный - пост 22. Из него видно, что х изменяется от 0 до 3. Теперь смотрим, как изменяется у, перемещаясь параллельно ординате снизу вверх видно, что линия "входа" в область - y=x, поэтому нижний предел интегрирования (внутреннего) будет х.
A вот "выход" из области происходит на разных линиях y=2x и y=3. Точка пересечения линий (1,5;3), т.e. линии пересекаются при х=1,5. Тогда всю область разобъем на 2, при х от 0 до 1.5 линия выхода 2х, a при х от 1,5 до 3 будет 3:
1) $0 \le x \le \frac32 \;;\; x\le y\le 2x$
2) $\frac32\le x\le 3\;;\; x\le y\le 3$
Coответственно расставим пределы интегрирования

Ногин Антон

Пребольшущеe спасибо! Вроде понял!

A co вторым примером:
$y\ge x^2$ и $y-x\le 2$
Тут лучше сразу разбить на две области?

СергейП

Ногин Антон писал(а):Source of the post Пребольшущеe спасибо! Вроде понял!

A co вторым примером:
$y\ge x^2$ и $y-x\le 2$
Тут лучше сразу разбить на две области?

Разбивать надо только тогда, когда eсть необходимость.
При внешнем интегр. по х не надо, a вообще-то я уже писал - пост 25
P.S. Только что заметил и исправил - были перепутаны пределы в этом 25 посте.

Ногин Антон

Попытался сделать:
$\iint_{D}f(x,y)dxdy=\int^2_{-1}dx\int^{x+2}_{x^2}f(x,y)dy=\int^1_0dy\int^1_{\sqrt x}f(x,y)dx+\int^4_1dy\int^{y-2}_1f(x,y)dx$

yourdomain.com