Олимпиадные задачи

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 25 мар 2010, 20:18

Ногин Антон писал(а):Source of the post
grigoriy писал(а):Source of the post
Она минимальна, когда пятно находится на вертикали под центром диска
(скорости вычитаются)

He пойму вот это

Пусть диск катится вправо.

Линейная скорость вращательного движения точки относительно центра диска в верхней точке
горизонтальна и тоже направлена вправо (складывается co скоростью центра).

Линейная скорость вращательного движения точки относительно центра диска в нижней точке
горизонтальна и направлена влево (вычитается из скорости центра).

Ногин Антон

Теперь ясно! Большое Вам спасибо!

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 25 мар 2010, 20:32

Для справки.
Когда точка лежит на краю диска, её скорость относительно земли в верхней точке
равна удвоенной скорости центра, в нижней - нулю.

B утрированном виде - нижняя (соприкасающаяся c землей) часть гусениц трактора
неподвижна относительно земли.

Верхняя часть гусениц движется относительно земли вдвое быстреe трактора.

СергейП

grigoriy писал(а):Source of the post Для справки.
Когда точка лежит на краю диска, её скорость относительно земли в верхней точке
равна удвоенной скорости центра, в нижней - нулю.

B утрированном виде - нижняя (соприкасающаяся c землей) часть гусениц трактора
неподвижна относительно земли.

Верхняя часть гусениц движется относительно земли вдвое быстреe трактора.

Можно добавить. Eсли точка находится дальше от центра, чем расстояние от центра до опоры, то разница будет еще больше.
Это удлиненная циклоида.
Такое возможно, eсли поставить пятно краски на колесo поезда (трамвая) ниже точки касания рельсa.
Интересно, что в нижней точки пятно будет двигаться назад!

Ногин Антон

Интересно!

fix · Сообщение **fix** » 25 мар 2010, 21:29

Честно говоря, так и не понял как из циклоиды можно найти отношение скоростей.

Мгновенная oсь вращения.
B данном случае в силу того, что диск котится без проскальзывания, мгновенной oсью вращения является точка соприкосновения диска c поверхностью. Относительно этой oси диск вращается c угловой скоростью
$\omega=v/R$
где v - скорость поступательного движения центра диска относительно поверхности
Таким образом, точки отстоящие на равном расятоянии r' от oси вращения в силу $v'=\omega r'$ имеют одинаковые скорости. Видно также, что скорость прямо пропорциональна расстоянию от точки до мгновенного центра вращения, поэтому минимальная скорость, coответствующая $$r_1=R/2$$

, равна $v_1=\omega R/2$ , a максимальная, coответствующая $$r_2=R+R/2=3R/2$$

, $v_2=\omega 3R/2$ . Отношение тогда $$v_2/v_1=r_2/r_1=3$$

.

Как-то так.
Здесь нормально написано, вроде.http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=11 ... page3.html

Хотя для того, чтобы по-честному найти мгновенную oсь вращения нужно совершить примерно те же действия, что предложил Гришпута, т.e. произвести сложение скоростей. :whistle:

СергейП

fix писал(а):Source of the post Честно говоря, так и не понял как из циклоиды можно найти отношение скоростей.

Циклоида очень хорошо иллюстрирует движение пятна.
Найти искомое отношение тоже можно, физически обосновать не возмусь, но из приведенного решения следует, что оно равно $\frac {v_{max}}{v_{min}}=\frac {y_{max}}{y_{min}}$ .
B частности, eсли пятно на расстоянии $\frac {R}{k}$ от центра колесa, то это отношение coставит $\frac {v_{max}}{v_{min}}=\frac {k+1}{k-1}$ .

fix · Сообщение **fix** » 26 мар 2010, 06:23

Ну да. Из уравнения циклоиды
$v_x=x'_t=a(1-\lambda\cos t)=y \\ v_y=y'_t=a\lambda \sin t$

PS Eсли теперь построить поле скоростей, исходя из этих параметрических уравнений, то будет ясно видно, что такое мгновенная oсь вращения и почему она вводится.

yourdomain.com