Электрический ток в проводниках и уравнения Максвелла

Mihail-Nor · Сообщение **Mihail-Nor** » 28 фев 2014, 23:46

1. В электростатической задаче, если несколько проводников находятся в электрическом поле, создаваемом этими проводниками и заданными зарядами, считается, что области, которые проводники занимают, имеют постоянные потенциалы (значит, нулевое электрическое поле). Далее, при решении уравнения Пуассона для потенциала с граничными условиями на поверхностях этих проводников можно получить потенциал во всём пространстве и распределение зарядов на поверхностях всех проводников с помощью дифференцирования потенциала по нормали к проводнику.
Кроме этого, такие проводники в этой задаче можно приближённо заменять на диэлектрики с очень большой диэлектрической проницаемостью. Тогда граничные условия вообще не потребуются, можно решать стационарные уравнения Максвелла, дополненные материальными уравнениями с переменной диэлектрической проницаемостью среды (приближённо, при приближении к проводнику, диэлектрическая проницаемость должна очень быстро возрастать, а внутри проводника оставаться почти постоянной). Тогда распределение зарядов на поверхностях проводников можно получить, взяв дивергенцию от напряжённости электрического поля.
Это электростатическая задача.

2. Далее хотелось бы смоделировать ток в проводнике. В качестве начального значения потенциалов можно взять полученные при решении электростатической задачи данные, в самом простом случае можно считать что поля были всюду нулевыми.
Но как моделировать проводники? Адекватно ли их приближение в виде среды с высокой диэлектрической проницаемостью, если мы хотим пропустить по ним ток? А если использовать граничные условия, то как же моделировать среду, поля и заряды внутри проводника?
Например, одноимённые заряды внутри проводника должны перемещаться к поверхности за счёт отталкивания зарядов, но откуда в уравнениях Максвелла возьмётся этот ток? Нужно ли задавать его с помощью плотности тока $$j$$

, или он должен сам появиться как составляющая тока смещения? Если задавать его с помощью $$j$$

, то по какой формуле?

3. Если, например, по незаряженной проводящей проводящей пластинке пропустить ток, задав его с помощью плотности тока $$j$$

из уравнений Максвелла, то такой ток, согласно уравнению неразрывности (закону сохранения заряда), должен выполнять разделение зарядов в этом проводнике. Но в проводнике заряды не должны находиться в разделённом состоянии, а должны опять соединяться. Это пример для предыдущего вопроса, который показывает, почему нужно знать, как именно моделируется ток в проводнике.

4. Допустим, есть кольцо из проводника. По нему можно пропустить постоянный кольцевой ток, удовлетворяющий уравнениям Максвелла, просто задав его с помощью $$j$$

, причём так, что заряд $\rho$ и напряжённость электрического поля $$E$$

всюду будут равными нулю, будет постоянное магнитное поле $$B$$

из-за этого тока, а уравнение неразрывности выполнится, потому что поле $$j$$

имеет нулевую дивергенцию.
Адекватно ли и применяется ли такое описание электрического тока, когда плотность заряда $\rho$ равна нулю, а плотность тока $$j$$

, которая изначально вводилась как произведение плотности заряда на скорость, не равна нулю?

5. Абстрактный ток из предыдущей задачи всё равно не может совершать работы - энергия его электромагнитного поля постоянна. Хотелось бы смоделировать "настоящий" ток для электрической цепи с источником тока, хотя бы постоянного.
Во-первых, появляются те же вопросы: как моделируется проводник как среда и равна ли в проводнике нулю плотность зарядов $\rho$ ?
Кроме этого, электроны бы не стали двигаться, если бы во всём проводнике не было электрического поля, направленного от плюса к минусу источника (например, по дифференциальному закону Ома, в котором плотность тока $$j$$

пропорциональна $$E$$

). Может ли маленький источник тока создать такое распространяющееся с околосветовой скоростью поле по всему очень длинному проводнику? Если может, то за счёт каких параметров среды проводника? Если не может, то что и как создаёт это электрическое поле во всём проводнике?
Например, если бы небольшой кольцевой проводник мы поместили во вращающееся магнитное поле, в нём бы по всему проводнику электрическое поле создавалось в основном только за счёт закона индукции Фарадея - одного из уравнений Максвелла. Что будет, если этот проводник удлинить, за счёт чего электрическое поле будет продолжено?

6. Хорошо, пусть по всей длине проводника каким-то образом появилось нужное электрическое поле. Как именно будут двигаться заряды в проводнике? Будут ли они смещаться к поверхности проводника и двигаться в основном по этой поверхности, нагревая именно её, и если да, то почему? Зависит ли это от того, постоянный это ток или переменный?
Как именно устроено это электрическое поле в проводнике, ослабевает ли оно ближе к центру сечения проводника?

7. Как моделировать сам источник тока, например, батарейку? Есть ли в нём электрическое поле, и если есть, то как устроено и как моделируется и появляется, как совмещается с электрическим полем провода? Есть ли в источнике в процессе работы заряженные области, или следует положить плотность зарядов $\rho$ равную нулю? Есть ли в нём плотность тока $$j$$

?

zykov · Сообщение **zykov** » 01 мар 2014, 00:51

Чего-то слишком много вопросов для одной темы. Я бы разбил на несколько...

Mihail-Nor писал(а):Source of the post Адекватно ли и применяется ли такое описание электрического тока, когда плотность заряда $\rho$ равна нулю, а плотность тока , которая изначально вводилась как произведение плотности заряда на скорость, не равна нулю?

В уравнении для дивергенции электростатического поля стоит полная плотность заряда. Если заряды скомпенсированы (зарядов решетки столько же, сколько свободных зарядов), то суммарный заряд нулевой.
В уравнении для плотности тока на скорость дрейфа умножается плотность движущихся зарядов. Заряды решетки тут не причем. Т.е. туда входит плотность свободных зарядов, что совсем не одно и тоже с суммарной плотностью заряда.

zykov · Сообщение **zykov** » 01 мар 2014, 01:08

Mihail-Nor писал(а):Source of the post Может ли маленький источник тока создать такое распространяющееся с околосветовой скоростью поле по всему очень длинному проводнику? Если может, то за счёт каких параметров среды проводника? Если не может, то что и как создаёт это электрическое поле во всём проводнике?

Зависит от режима.
Скорость распространения всегда ограничена скоростью света. Это видно из уравнений Максвела и принимает форму индуктивности провода.
Для длинных линий всё проще (смотри Телеграфное уравнение). Поле создается зарядами. Ёмкость - это связь между количеством заряда и полем. А заряды перетекают под действием поля. Проводимость определяет связь между полем и током.

Mihail-Nor · Сообщение **Mihail-Nor** » 01 мар 2014, 23:07

Чего-то слишком много вопросов для одной темы. Я бы разбил на несколько...

Я бы хотел разбить это на несколько тем, но всё по-моему слишком связано - не ответив на одни вопросы здесь, к другим даже нет смысла приступать, а если ответить на некоторые, сразу получаются ответы на некоторые другие...

В уравнении для дивергенции электростатического поля стоит полная плотность заряда. Если заряды скомпенсированы (зарядов решетки столько же, сколько свободных зарядов), то суммарный заряд нулевой.
В уравнении для плотности тока на скорость дрейфа умножается плотность движущихся зарядов. Заряды решетки тут не причем. Т.е. туда входит плотность свободных зарядов, что совсем не одно и тоже с суммарной плотностью заряда.

Отлично, спасибо!

Скорость распространения всегда ограничена скоростью света. Это видно из уравнений Максвела и принимает форму индуктивности провода.

Из уравнений Максвелла видно, что волны электрического поля распространяются со скоростью света. Но я не представляю, как описать не волну, а вот появление и распространение со скоростью света почти постоянного электрического поля вдоль всего проводника, и как и за счёт чего возникает такое поле.

Поле создается зарядами. Ёмкость - это связь между количеством заряда и полем.

Да, только ведь эта теория выводится обычно на основе электростатической задачи, которую я описал в первом пункте этого вопроса. Там проводники приобретают потенциал, линейно связанный с количеством заряда на проводнике. Но мне не понятно, как в нестационарном случае описать такой ток внутри проводников, благодаря которому появляются такие эффекты - когда заряды перераспределяются по поверхности проводника и внутри проводника исчезает электрическое поле. Тем более странно представлять, что внутри, а не на поверхности, проводников с током есть движение зарядов и электрическое поле, которое эти заряды двигает. Не понятно, откуда оно берётся и как описывается... Если оно создаётся зарядами, то какими именно и где? Какие могут заряды создать поле, направленное вдоль проводника?

А заряды перетекают под действием поля. Проводимость определяет связь между полем и током.

Да, я бы мог моделировать ток в проводниках с помощью дифференциального закона Ома, где показано даже, как именно заряды перетекают под действием поля. Смущают, прежде всего, две вещи: откуда в длинном проводнике взялось это поле и как именно описывается среда внутри проводника, то есть за счёт чего он в электрическом внешнем поле перераспределяет заряды по поверхности, а при моделировании тока в нём происходит нечто вроде бы другое. Не из-за закона же Ома проводники так ведут себя во внешнем электрическом поле?

Для длинных линий всё проще (смотри Телеграфное уравнение).

Телеграфные уравнения, как и все другие уравнения, описывающие электрические явления, могут быть сведены к частному случаю уравнений Максвелла.

К сожалению, мне совершенно не понятно, как именно связаны уравнения Максвелла с телеграфными уравнениями, как и со многими другими уравнениями, приближённо описывающими электрические явления. В таких уравнениях ищут силу тока и напряжение в точках пространства, а единственное, что из этого у меня получается вытащить, так это то, что раз есть напряжение (разность потенциалов), то есть и сильное электрическое поле, направленное вдоль проводника. Но эти уравнения не дают ответа на вопрос, откуда это поле берётся в проводнике и как этот процесс связан с уравнениями Максвелла...

YuriiS · Сообщение **YuriiS** » 01 мар 2014, 23:17

Почитайте книжку Калашникова "Электричество" и тогда для вас многое прояснится.

Mihail-Nor · Сообщение **Mihail-Nor** » 01 мар 2014, 23:57

YuriiS писал(а):Source of the post
Почитайте книжку Калашникова "Электричество" и тогда для вас многое прояснится.

Я не сомневаюсь, что многое прояснится, но всё же боюсь что далеко не всё из того, о чём я тут спрашиваю. Я ведь ранее смотрел там и в других учебниках интересующие меня темы, но на те вопросы, которые я здесь задал, подробно там не отвечали... Буду очень благодарен за ссылки на конкретные разделы или страницы, в которых можно найти ответы на какие-либо из заданных вопросов.

zykov · Сообщение **zykov** » 02 мар 2014, 00:12

Mihail-Nor писал(а):Source of the post Но эти уравнения не дают ответа на вопрос, откуда это поле берётся в проводнике и как этот процесс связан с уравнениями Максвелла...

Поле создаётся зарядами.
Тут на форуме уже была тема про то, как распределен заряд на поверхности провода, по которому течёт постоянный ток. Почитайте эту тему.

zykov писал(а):Source of the post Это следует из уравнений тока в проводнике.
1) Уравнение непрерывности - скорость изменения объемной плотности заряда равна минус дивиргенции плотности тока: $d\rho/dt=-div\vec{j}$ .
2) Уравнение омического проводника: $\vec{j}=\sigma\vec{E}$ .
3) Уравнения Максвелла в электростатическом приближении: $4\pi\rho=div\vec{E}$ .
И граничных условий на границе проводника, которые можно получить взяв объемную плотность заряда в виде поверхностной плотности заряда помноженной на дельта-функцию вдоль нормали к поверхности (плотность тока вне проводника равна нулю).

Отсюда кстати сразу видно, что электрическое поле можно посчитать по закону Кулона от избыточного заряда, а плотность тока будет просто пропорциональна его напряженности.

(Вверху цитаты есть красный квадратик со стрелкой - это ссылка на ту тему.)

Mihail-Nor · Сообщение **Mihail-Nor** » 02 мар 2014, 23:59

zykov писал(а):Source of the post
Поле создаётся зарядами.
Тут на форуме уже была тема про то, как распределен заряд на поверхности провода, по которому течёт постоянный ток. Почитайте эту тему.

Я читал эту тему, но понял оттуда совсем мало. Меня интересуют скорее совсем практические вопросы, вроде того, как с помощью уравнений Максвелла можно смоделировать хотя бы простейший пример тока в проводнике.
Для того, чтобы было понятно, что именно я хочу узнать, приведу пример совсем уже конкретной задачи. Я начал с того, что рассмотрел две заряженные объёмными зарядами разных знаков области в пространстве и решал там численно приведённые Вами уравнения Максвелла в вакууме совместно с законом Ома во всём пространстве (плотность зарядов восстанавливается по току с помощью уравнения непрерывности). На рисунке силовые линии напряжённости электрического поля в этом процессе, по цвету можно судить о длине её векторов, самым длинным соответствует красный цвет.

Эти заряженные области друг от друга можно отодвинуть на любое расстояние, и ток всё равно будет.

Mihail-Nor писал(а):Source of the post
Может ли маленький источник тока создать такое распространяющееся с околосветовой скоростью поле по всему очень длинному проводнику?

Я задавал этот вопрос и попытался понять, как будет меняться ток, если эти заряженные области отодвигать дальше - может ли в принципе созданное такими неподвижными источниками зарядов на концах провода электрическое поле существовать на больших расстояниях без зарядов на поверхности и при этом эффективно двигать заряды.
То есть проверял предположение из упомянутой темы:

student_kiev писал(а):Source of the post
Собственно, вопрос coстоит в том, кто поддерживает постоянный ток (и нужное поле) вдоль всего провода? Это не может быть непосредственно батарея, потому что eсли представить себе достаточно длинный провод, то на большом расстоянии от батареи её электрическое поле пренебрежимо малО.

Плотность тока я считаю, по закону Ома, пропорциональной напряжённости электрического поля, то есть она уменьшается ближе к середине длины "провода", но зато и эффективная площадь этого тока там увеличивается...
Если рассмотреть электростатическое поле, созданное двумя точечными зарядами (или, что то же самое, маленькими шарами) в вакууме, и взять поток напряжённости электрического поля через всю плоскость, проходящую посередине межу двумя такими зарядами (этот поток пропорционален, по закону Ома для всего пространства, силе тока между зарядами), то получится вот что. Пусть $$2r>0$$

- расстояние между зарядами разных знаков $$q_1$$

и

, $\varepsilon_0$ - электрическая постоянная, тогда по закону Кулона (ну или теореме Гаусса)
$\displaystyle \frac{q_2-q_1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{r \, dx \, dy}{(x^2+y^2+r^2)^\frac{3}{2}} = \frac{q_2-q_1}{2\varepsilon_0}.$
Ток через эту плоскость не зависит от расстояния между зарядами! То есть, заряды будут перетекать из одного полупространства в другое в одинаковом количестве независимо от расстояния между центрами их концентрации. У меня тогда есть гипотеза, что проводник просто сжимает это электрическое поле до площади своего сечения, и для объяснения тока и в нём не требуется поверхностных зарядов. Но проверить или опровергнуть это я могу только зная, как моделировать среду проводника...

Кстати, на эту же тему. Моя модель несколько похожа на вот эту, только самого провода пока нет.

zykov писал(а):Source of the post
Лучше рассмотрите свою конструкцию с двумя шарами и проводом между ними. Для простоты возьмем прямой длинный однородный провод, так что его длинна много больше радиуса шаров, а толшина настолько мала, что его ёмкость много меньше ёмкости шаров. Тогда время релаксации заряда в проводе будет много меньше времени релаксации шаров через провод и у нас будет промежуточный интервал времение в котором ток можно рассматривать как стационарный.
Очевидно, что заряд шаров локализован в пределах шаров и на большом расстоянии создает поле убывающее квадратично. Также очевидно, что потенциал в проводе линейно убывает вдоль его длинны, а значит его градиент, и следовательно напряженность поля, имеет нулевую радиальную компоненту и постоянную продольную компоненту. Это постоянное продольное поле не может быть создано зарядом шаров, в пустом пространстве вокруг зарядов нет, внутри проводника тоже нет. Так что очевидно, что эти заряды могут быть только на поверхности провода.

Если заряды будут на поверхности провода, то уравнения, которые я численно решаю, должны давать возможность в этом убедиться. Но какие именно это должны быть уравнения - в этом сейчас у меня вопрос. Те, которые я решал для получения того рисунка - они для вакуума, не для проводника. Границ там не было. А всё это надо бы сделать...

Я хотел бы попробовать ограничить распространение электрического поля в основном только на проводник (а не на всё пространство, как сейчас у меня без среды), чтобы посмотреть, можно ли и в случае загнутого проводника обойтись без поверхностных зарядов, а если нельзя, то убедиться в том, что они появляются в результате решения уравнений. Но пока я не понимаю, как это можно сделать - для этого надо как раз знать, как моделируется среда в проводнике.

zykov писал(а):Source of the post
Уравнения Максвелла в электростатическом приближении: $4\pi\rho=div\vec{E}$ .

Я рассматривал задачу в вакууме. Для моделирования металлического проводника диэлектрическая проницаемость среды берётся как у вакуума? То есть, у проводников нет поляризованности? С чем это связано? Это один из моих вопросов о среде внутри проводника.

zykov писал(а):Source of the post
И граничных условий на границе проводника, которые можно получить взяв объемную плотность заряда в виде поверхностной плотности заряда помноженной на дельта-функцию вдоль нормали к поверхности (плотность тока вне проводника равна нулю).

А из каких предпосылок выводятся сами условия? И какие именно это условия?
Если заряды появляются на поверхности провода, я подозреваю, что основную роль в этом должны играть именно граничные условия, поэтому получить их для меня очень важно.
В пункте 1 вопроса темы я описал способ моделирования диэлектрика в электростатическом поле без использования граничных условий. Способ был основан на том, что диэлектрическая проницаемость среды при приближении к границам диэлектрика резко, но непрерывно, увеличивается, и с помощью этого способа можно попробовать вывести граничные условия для диэлектрика. А на чём основано получение условий вблизи границ проводника? Может быть, есть какой-нибудь способ решать эту задачу без граничных условий для упрощения уравнений, похожий на тот, который я описал для диэлектриков?

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 03 мар 2014, 15:57

zykov писал(а):Source of the post

Тут на форуме уже была тема про то, как распределен заряд на поверхности провода, по которому течёт постоянный ток.

Жалко, что та интересная тема так печально закончилась...

zykov · Сообщение **zykov** » 05 мар 2014, 00:39

Mihail-Nor писал(а):Source of the post Я читал эту тему, но понял оттуда совсем мало. Меня интересуют скорее совсем практические вопросы, вроде того, как с помощью уравнений Максвелла можно смоделировать хотя бы простейший пример тока в проводнике.

Полностью уравнения Максвелла тут обычно не нужны. Достаточно просто электростатики.
Они нужны при обсчёте антен, при анализе быстрых переходных процессов. В принципе нужны для катушек индуктивности и трансформаторов, но там тоже можно упростить.

Используются 3 уравнения приведенных выше. Можно ещё рассмотреть эффект от диэлектрической проницаемости, но принципиально он ничего не меняет. Так что можно обойтись упрощённой моделью.

Если цель найти плотность поверхностного заряда, то нужно искать поле вне проводника. Поверхностная плотность заряда определяется скачком ортогональной составляющей вектора поля на поверхности.

Если рассмотреть круглый прямой провод, по которому течёт постоянный ток, то плотность тока в нём будет напавлена вдоль оси и везде одинакова. Соответственно и поле направлено так же. При этом потнецила веняется линейно вдоль проводника. Отсюда можно просто найти распределение потенциала в простанстве вне проводника с такими граничными условиями. Отсюда находится вектор поля на поверхности и из него поверхностная плотность заряда.
Любое внешнее поле создаст дополнительно поверхностную плотность заряда, компенсирующую это внешнее поле внутри проводника.

yourdomain.com