yourdomain.com

Почему в функционале $$L$$

зависит только от производной функции $\gamma$ , но не от самой функции?

Ну, так если $L: TM \to \mathbb{R}$ , а векторы касательного пространства $$TM$$

есть векторы скорости кривых на $$M$$

, то все вполне логично.

student_kiev писал(а):Source of the post
Ну, так если $L: TM \to \mathbb{R}$ , а векторы касательного пространства есть векторы скорости кривых на , то все вполне логично.

Прочтите ниже пример - там функция Лагранжа уже зависит от $$q$$

и от $\dot{q}$ .

Вы просто не разобрались в обозначениях. У Арнольда $\dot\gamma\in TM$ , то есть содержит и координату, и скорость.

Нужно тогда детально смотреть его обозначения.
UPD: peregoudov опередил.

peregoudov писал(а):Source of the post
Вы просто не разобрались в обозначениях. У Арнольда $\dot\gamma\in TM$ , то есть содержит и координату, и скорость.

Всё равно не ясно. Почему тогда он $\dot{\gamma}$ называет вектором скорости? Если он подразумевает под этим понятием точку кривой на многообразии $$TM$$

, то как-бы понятно... Правда, я такой терминологии никогда не встречал. Получается ужасная путаница со скоростью точки в евклидовых координатах $\mathbb{R}^n$ .

cupuyc писал(а):Source of the post Всё равно не ясно. Почему тогда он $\dot{\gamma}$ называет вектором скорости? Если он подразумевает под этим понятием точку кривой на многообразии , то как-бы понятно...

Под $\displaystyle TM$ там еще есть $\displaystyle _{\gamma(t)}$ .
А потом в примере он так и пишет, что каждой точке $\gamma(t)$ в момент времени $$t$$

отвечают координаты $$q = (q_1, q_2, ... q_n) $$

.

Upd. Поправлю мысль.
$\gamma(t)$ - это не точка, это одна из выбранных кривых поверностей (как правильнее выразился ниже Dragon27 - слой $\gamma(t)$ ) из многообразия $$TM$$

.

cupuyc писал(а):Source of the post Если он подразумевает под этим понятием точку кривой на многообразии , то как-бы понятно...

Ну там же написано, что $\dot\gamma(t) \in TM_{\gamma(t)}$ .
А это что обозначает? Что в $$TM$$

выбран слой, отвечающий именно конкретному значению $\gamma(t)$ ?

Ну, знаете, не читайте тогда Арнольда, раз у него обозначения непонятные. Читайте кого-нибудь другого.

$$TM$$

--- это касательное расслоение, то есть множество касательных плоскостей ко всем точкам многообразия. Чтобы задать конкретный элемент в касательном расслоении, нужно 1) задать плоскость (=точку касания=координаты) и 2) точку на этой плоскости (=скорость).

Если на многообразии задана кривая, то можно определить касательный вектор к кривой --- вектор скорости (дифференцированием по параметру кривой, в данном случае --- по времени). Где лежит этот вектор? В касательном расслоении. В этом смысле Арнольд и употребляет $\dot\gamma$ .

peregoudov для примера точка движется в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^3$ (это то самое конфигурационное многообразие $$M$$

), положение точки задаётся $x \in \mathbb{R}^3$ . Вектор скорости $v = \dot{x}\in\mathbb{R}^3$ . Множество всех возможных скоростей во всех точках конфигурационного пространства задают касательной расслоение $$TM$$

(которое тоже является многообразием, но вдвое большей размености).

Далее, кривая $\gamma(t) : \mathbb{R}\to\mathbb{R}^3$ - некоторая траектория движения материальной точки. Кривая $\dot{\gamma}(t) : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^6$ - кривая, определяющая координаты и скорости этой точки (можно ли назвать её фазовой траекторией в фазовом пространстве?).

Всё ли верно?

yourdomain.com

Арнольд. Лагранжева динамическая система.

Арнольд. Лагранжева динамическая система.

Арнольд. Лагранжева динамическая система.

Арнольд. Лагранжева динамическая система.

Арнольд. Лагранжева динамическая система.

Арнольд. Лагранжева динамическая система.

Арнольд. Лагранжева динамическая система.

Арнольд. Лагранжева динамическая система.

Арнольд. Лагранжева динамическая система.

Арнольд. Лагранжева динамическая система.

Арнольд. Лагранжева динамическая система.