Арнольд. Лагранжева динамическая система.

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 07 мар 2013, 17:54

Почему в функционале $$L$$

зависит только от производной функции $\gamma$ , но не от самой функции?

student_kiev

Ну, так если $L: TM \to \mathbb{R}$ , а векторы касательного пространства $$TM$$

есть векторы скорости кривых на $$M$$

, то все вполне логично.

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 07 мар 2013, 20:35

student_kiev писал(а):Source of the post
Ну, так если $L: TM \to \mathbb{R}$ , а векторы касательного пространства есть векторы скорости кривых на , то все вполне логично.

Прочтите ниже пример - там функция Лагранжа уже зависит от $$q$$

и от $\dot{q}$ .

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 07 мар 2013, 21:20

Вы просто не разобрались в обозначениях. У Арнольда $\dot\gamma\in TM$ , то есть содержит и координату, и скорость.

student_kiev

Нужно тогда детально смотреть его обозначения.
UPD: peregoudov опередил.

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 07 мар 2013, 21:54

peregoudov писал(а):Source of the post
Вы просто не разобрались в обозначениях. У Арнольда $\dot\gamma\in TM$ , то есть содержит и координату, и скорость.

Всё равно не ясно. Почему тогда он $\dot{\gamma}$ называет вектором скорости? Если он подразумевает под этим понятием точку кривой на многообразии $$TM$$

, то как-бы понятно... Правда, я такой терминологии никогда не встречал. Получается ужасная путаница со скоростью точки в евклидовых координатах $\mathbb{R}^n$ .

NT · Сообщение NT » 08 мар 2013, 00:59

cupuyc писал(а):Source of the post Всё равно не ясно. Почему тогда он $\dot{\gamma}$ называет вектором скорости? Если он подразумевает под этим понятием точку кривой на многообразии , то как-бы понятно...

Под $\displaystyle TM$ там еще есть $\displaystyle _{\gamma(t)}$ .
А потом в примере он так и пишет, что каждой точке $\gamma(t)$ в момент времени $$t$$

отвечают координаты $$q = (q_1, q_2, ... q_n) $$

.

Upd. Поправлю мысль.
$\gamma(t)$ - это не точка, это одна из выбранных кривых поверностей (как правильнее выразился ниже Dragon27 - слой $\gamma(t)$ ) из многообразия $$TM$$

.

Dragon27 · Сообщение **Dragon27** » 08 мар 2013, 11:38

cupuyc писал(а):Source of the post Если он подразумевает под этим понятием точку кривой на многообразии , то как-бы понятно...

Ну там же написано, что $\dot\gamma(t) \in TM_{\gamma(t)}$ .
А это что обозначает? Что в $$TM$$

выбран слой, отвечающий именно конкретному значению $\gamma(t)$ ?

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 08 мар 2013, 16:56

Ну, знаете, не читайте тогда Арнольда, раз у него обозначения непонятные. Читайте кого-нибудь другого.

$$TM$$

--- это касательное расслоение, то есть множество касательных плоскостей ко всем точкам многообразия. Чтобы задать конкретный элемент в касательном расслоении, нужно 1) задать плоскость (=точку касания=координаты) и 2) точку на этой плоскости (=скорость).

Если на многообразии задана кривая, то можно определить касательный вектор к кривой --- вектор скорости (дифференцированием по параметру кривой, в данном случае --- по времени). Где лежит этот вектор? В касательном расслоении. В этом смысле Арнольд и употребляет $\dot\gamma$ .

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 09 мар 2013, 14:38

peregoudov для примера точка движется в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^3$ (это то самое конфигурационное многообразие $$M$$

), положение точки задаётся $x \in \mathbb{R}^3$ . Вектор скорости $v = \dot{x}\in\mathbb{R}^3$ . Множество всех возможных скоростей во всех точках конфигурационного пространства задают касательной расслоение $$TM$$

(которое тоже является многообразием, но вдвое большей размености).

Далее, кривая $\gamma(t) : \mathbb{R}\to\mathbb{R}^3$ - некоторая траектория движения материальной точки. Кривая $\dot{\gamma}(t) : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^6$ - кривая, определяющая координаты и скорости этой точки (можно ли назвать её фазовой траекторией в фазовом пространстве?).

Всё ли верно?

yourdomain.com