скользящая бусинка

Doberman · Сообщение **Doberman** » 24 сен 2010, 17:17

Имеется задача: По длинной проволочной винтовой линии радиуса R c шагом H, ось которой вертикальна, скользит бусинка. Коэффициент трения скольжения бусинки по проволоке равен u. Найдите устанавившуюся скорость V скольжения бусинки.
Ну так вот просьба объяснить как можно понятнее, c рисунком.Понял ,что в задаче 4 силы: mg N1 N2 Fтр, где N1 N2 реакция вертикальная и горизонтальная, a c проекциями вообще запутался.

alex.cheshev

Doberman писал(а):Source of the post
Найдите устанавившуюся скорость V скольжения бусинки.

Бусинка будет двигаться c ускорением, co временем скорость будет возрастать. Кстати, нормальное ускорение будет также возрастать.

Представьте спираль в виде треугольника. Зная радиус окружности и шаг спирали, найдите угол. Зная силу тяжести и угол, найдите силу, которая заставляет бусинку двигаться по спирали, и вычтите из нее силу трения скольжения.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 24 сен 2010, 18:37

Больших трудностей чем найти нормальную по отношению к спирали составляющую реакции из N1 и N2 (чтобы умножить на коэффициент трения и получить Fтр) представить трудно. Так найдите её, это несложно. A лучше сделать наоборот: задаться N - реакцией спирали, a из неё найти N1 и N2.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 24 сен 2010, 18:51

Удобно дополнительно рассмотреть соприкасающуюся плоскость кривой, в которой лежат касательная и главная нормаль (вообще удобно иметь в виду базис, ориентированный по касательной, главной нормали и бинормали). Для винтовой линии это будет просто-напросто плоскость, наклонённая к горизонтали под углом $\alpha$ , где $\tg\alpha=H/2\pi R$ (это очевидно, если развернуть цилиндр, на котором "нарисована" винтовая линия). Рисунок, наверное, на [url=http://ru.wikipedia.org/wiki/Дифференциаль...еометрия_кривых]http://ru.wikipedia.org/wiki/Диффер\xD0...я_кривых[/url]

B режиме установившегося движения единственная составляющая ускорения - это центростремительное ускорение, направленное по главной нормали. B проекции на соприкасающуюся плоскость, сила тяжести даёт $mg\sin\alpha$ , причём направленную по касательной, как и сила трения, так что проекции этих сил друг друга компенсируют. Так что за центростремительное ускорение отвечает, очевидно, целиком сила реакции опоры, та её компонента, которая лежит в соприкасающейся плоскости, и очевидно, на направлении главной нормали. Назовём её $N_{\mathrm{norm}}$ . Глядя перпендикулярно соприкасающейся плоскости, видим, что у нас есть сила $mg\cos\alpha$ , которую компенсирует бинормальная компонента силы реакции опоры, $N_{\mathrm{binorm}}$ . Окончательно проекции на вертикальные и горизонтальные направления нам вообще не понадобятся, если мы сразу запишем
$$\displaystyle F_{òð}=\mu N=\mu\sqrt{N_{\mathrm{norm}}^2+N_{\mathrm{binorm}}^2}.$$

Внимательно надо отнестись к величине центростремительного ускорения. Оно находится как при движении по окружности (соприкасающейся окружности), но радиус этой окружности - не радиус цилиндра $$R$$

, a больше по величине. Как его найти, я вряд ли здесь объясню, хотя конечный результат $R/\cos^2\alpha$ .

Update: Исправлена опечатка ("поделить" вместо "умножить") в последней формуле.

da67 · Сообщение **da67** » 24 сен 2010, 19:36

Посмотрите тут.

Doberman · Сообщение **Doberman** » 24 сен 2010, 21:23

Всем спасибо за помощь. Прояснилось теперь многое, но пока не понятно почему $$ V^2/R$$

будет

, ну ничё думаю за ночь уложится, пойму. Осталось ещё переварить пост Munina и будет всё в шоколаде. A ответ у меня вроде такого получается $\sqrt{(gR/u)}\sqrt[4]{(tg^2a-u^2)(tg^2a+1)}$

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 24 сен 2010, 22:23

Идея
$\displaystyle \frac{v_{\perp}^2}{R}=\frac{v^2\cos^2\alpha}{R}$
проста, красива и не приходила мне в голову. Mipter, респект. P. Энфиаджяну - тоже.

alex.cheshev

da67 писал(а):Source of the post
Посмотрите тут.

C ростом скорости давление на желоб увеличивается и сила трения увеличивается. Через некоторое время движение становится установившимся.
До меня сразу не дошло. Интересная задача.

Doberman · Сообщение **Doberman** » 25 сен 2010, 19:40

Задача действительно интересная. Хотя учитель мне её не засчитал( правда учитель вообще не правильно решил). Ну так вот хотел бы уточнить в чем может быть ошибка. Я расписал проекции на$$OX:mgsina-Fòð=0 OY: mgcosa-N1=0 OZ: (mv^2cos^2a)/R=N2 $$</span> <span class=

$$" title="$$ $$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">Fòð=\sqrt{N^21+N^22}$$ A ещё как можно учителю объяснить, что v^2/R=(v^2cos^2a)/R, просто я объяснил так: так как у нас тело движется в 3 плоскостях, то v будет под углом, поэтому проведем плоскость пересек нашу и оттюда найдем проекцию v для центр ускорения( извиняюсь, так тупо ещё никогда не объяснял, но подругому никак)

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 25 сен 2010, 19:58

Doberman писал(а):Source of the post v^2/R=(v^2cos^2a)/R

Это, очевидно, неправильная формула (из неё следует, что $\cos\alpha=1$ ). B "Кванте" правильная: там c одной стороны $$v$$

, a c другой - $v_{\perp}$ .

yourdomain.com