yourdomain.com

Пусть $\alpha$ - коэффициент объёмного изотермического сжатия некоторого вещества, так что при постоянной температуре для любой точки кривой $$V = f(P)$$

имеем:
$\alpha = -\displaystyle\frac{1}{V}\left ( \displaystyle\frac{\partial V}{\partial P} \right)_T.$
Сам коэффициент $\alpha$ тоже зависит от давления, причём для некоторых веществ эта зависимость в некотором интервале давлений линейна:
$\alpha = aP+b.$
Вопрос: можно ли получить выражение для работы расширения/сжатия такого вещества при изотермическом и обратимом изменении внешнего давления над ним от $$P_0$$

до

? Начальный (при $$P=P_0$$

) объём тела предполагается известным и равным $$V_0$$

. Это не задача и не сессия, меня самого заинтересовал этот вопрос, но я запутался в математике.
Рассуждаю так: из ДУ
$\displaystyle\frac{dV}{V} = -(aP+b)dP$
получаем:
$\ln V + P\left ( b+\displaystyle\frac{aP}{2}\right ) = C,$
откуда
$V=V_0 \cdot \exp \left[ P_0 (b + \frac{aP_0}{2}) \right] \cdot \exp \left[ -P(b+\frac{aP}{2}) \right] = K\cdot \exp \left[ -P(b+\frac{aP}{2}) \right].$
Работа:
$W=\displaystyle\int_{V_0}^{V} P\,dV = -K\int_{P_0}^{P} P\cdot(b+aP)\cdot \exp\left[ -P\left( b+\frac{ap}{2}\right) \right]\,dP.$
Собственно, проблема в вычислении последнего интеграла (если выражение для него я получил правильно). При $\alpha = const$ всё тривиально.

physchemist писал(а):Source of the post

Собственно, проблема в вычислении последнего интеграла (если выражение для него я получил правильно). При $\alpha = const$ всё тривиально.

Сделайте замену: $$x=b+ap$$

и по частям.

Лучше не расписывать $$PdV$$

под интегралом, a сразу интегрировать по частям, поскольку

$$PdV=d(PV)-VdP$$

Ну, и $\int_{}^{}{VdP}=K\int_{}^{}exp[-P(b+\frac{aP}{2})]dP$ в элементарных функциях не берётся, a выражается через функцию $$erf$$

guryev писал(а):Source of the post
Ну, и $\int_{}^{}{VdP}=K\int_{}^{}exp[-P(b+\frac{aP}{2})]dP$ в элементарных функциях не берётся, a выражается через функцию

Ну что ж, понятно. Жаль только, что я вчера весь день всё-таки пытался его взять Спасибо!

yourdomain.com

Затруднения c вычислением работы расширения

Затруднения c вычислением работы расширения

Затруднения c вычислением работы расширения

Затруднения c вычислением работы расширения

Затруднения c вычислением работы расширения