Страница 1 из 3
Задача по классической механике
Добавлено: 16 фев 2009, 17:56
agent-10
Частица движется в поле
, где
. Показать, что при этом сохраняется величина
, где
.
Фактически, как я понял, надо показать что это величина является интегралом движения, но я не пойму как это связать c U и что такое тут вектор K?
Задача по классической механике
Добавлено: 16 фев 2009, 20:01
fir-tree
Похоже на какое-то из обозначений из небесной механики. To ли вектор момента импульса, то ли вектор большой полуоси...
Задача по классической механике
Добавлено: 17 фев 2009, 08:18
agent-10
Ну у кого вообще никаких идей нету?
Задача по классической механике
Добавлено: 17 фев 2009, 09:22
agent-10
Вообщем, всем спасибо! Я придумал как её решить! Если надо могу выложить своё решение( хотя оно может быть не верным:) ).
P.S. Спасибо Munin за подсказку. K - это скорее всего момент.
Задача по классической механике
Добавлено: 17 фев 2009, 09:54
ALEX165
agent-10 писал(а):Source of the post Вообщем, всем спасибо! Я придумал как её решить! Если надо могу выложить своё решение( хотя оно может быть не верным:) ).
P.S. Спасибо Munin за подсказку. K - это скорее всего момент.
Очень интересно посмотреть, усовие-то выглядит жутковато.
Задача по классической механике
Добавлено: 17 фев 2009, 11:01
fir-tree
Почему жутковато? Кажется, стандартная задача: центр притяжения плюс ещё какое-то далёкое тело.
Задача по классической механике
Добавлено: 17 фев 2009, 12:39
agent-10
Рано радовался:( Почти подошёл к решению. Как я делаю:
Обозначи наше выражение
за B.
Нам надо док-ть, что
. Продифиренцируем B по t, получим c учётом
![$$\vec{K} = m[\vec{r}\dot{\vec{r}}]$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cvec%7BK%7D%20%3D%20m%5B%5Cvec%7Br%7D%5Cdot%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%5D%24%24 "$$\vec{K} = m[\vec{r}\dot{\vec{r}}]$$")
![$$(m\vec{r}(\dot{\vec{r}}\ddot{\vec{r}}) - m\dot{\vec{r}}(\vec{r}\ddot{\vec{r}}) - \frac{\alpha\dot{\vec{r}}}{r} + \frac{\alpha\vec{r}(\dot{\vec{r}}\vec{r})}{r^3})\vec{F} + [\vec{F}\times\vec{r}][\vec{F}\times\dot{\vec{r}}]$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28m%5Cvec%7Br%7D%28%5Cdot%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%5Cddot%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%29%20-%20m%5Cdot%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%28%5Cvec%7Br%7D%5Cddot%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%29%20-%20%5Cfrac%7B%5Calpha%5Cdot%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%7D%7Br%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Calpha%5Cvec%7Br%7D%28%5Cdot%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%5Cvec%7Br%7D%29%7D%7Br%5E3%7D%29%5Cvec%7BF%7D%20%2B%20%5B%5Cvec%7BF%7D%5Ctimes%5Cvec%7Br%7D%5D%5B%5Cvec%7BF%7D%5Ctimes%5Cdot%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%5D%24%24 "$$(m\vec{r}(\dot{\vec{r}}\ddot{\vec{r}}) - m\dot{\vec{r}}(\vec{r}\ddot{\vec{r}}) - \frac{\alpha\dot{\vec{r}}}{r} + \frac{\alpha\vec{r}(\dot{\vec{r}}\vec{r})}{r^3})\vec{F} + [\vec{F}\times\vec{r}][\vec{F}\times\dot{\vec{r}}]$$")
Далее, найдём уравнение движения(мне кажется я здесь ошибся, поправьте если что):
Далее подставим
в
получим:
![$$(\vec{r}(\dot{\vec{r}}\vec{F}) - \vec{r}(\dot{\vec{r}}\frac{\alpha\vec{r}}{r^3}) - \dot{\vec{r}}(\vec{r}\vec{F}) + \dot{\vec{r}}(\vec{r}\frac{\alpha\vec{r}}{r^3}) - \frac{\alpha\dot{\vec{r}}}{r} + \frac{\alpha\vec{r}(\dot{\vec{r}}\vec{r})}{r^3})\vec{F} + [\vec{F}\times\vec{r}][\vec{F}\times\dot{\vec{r}}]$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28%5Cvec%7Br%7D%28%5Cdot%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%5Cvec%7BF%7D%29%20-%20%5Cvec%7Br%7D%28%5Cdot%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%5Cfrac%7B%5Calpha%5Cvec%7Br%7D%7D%7Br%5E3%7D%29%20-%20%5Cdot%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%28%5Cvec%7Br%7D%5Cvec%7BF%7D%29%20%2B%20%5Cdot%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%28%5Cvec%7Br%7D%5Cfrac%7B%5Calpha%5Cvec%7Br%7D%7D%7Br%5E3%7D%29%20-%20%5Cfrac%7B%5Calpha%5Cdot%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%7D%7Br%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Calpha%5Cvec%7Br%7D%28%5Cdot%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%5Cvec%7Br%7D%29%7D%7Br%5E3%7D%29%5Cvec%7BF%7D%20%2B%20%20%5B%5Cvec%7BF%7D%5Ctimes%5Cvec%7Br%7D%5D%5B%5Cvec%7BF%7D%5Ctimes%5Cdot%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%5D%24%24 "$$(\vec{r}(\dot{\vec{r}}\vec{F}) - \vec{r}(\dot{\vec{r}}\frac{\alpha\vec{r}}{r^3}) - \dot{\vec{r}}(\vec{r}\vec{F}) + \dot{\vec{r}}(\vec{r}\frac{\alpha\vec{r}}{r^3}) - \frac{\alpha\dot{\vec{r}}}{r} + \frac{\alpha\vec{r}(\dot{\vec{r}}\vec{r})}{r^3})\vec{F} + [\vec{F}\times\vec{r}][\vec{F}\times\dot{\vec{r}}]$$")
После сокрашении получаем:
![$$\frac{dB}{dt} = (\vec{r}(\dot{\vec{r}}\vec{F}) - \dot{\vec{r}}(\vec{r}\vec{F}))\vec{F} + [\vec{F}\times\vec{r}][\vec{F}\times\dot{\vec{r}}]$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%7BdB%7D%7Bdt%7D%20%3D%20%28%5Cvec%7Br%7D%28%5Cdot%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%5Cvec%7BF%7D%29%20-%20%5Cdot%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%28%5Cvec%7Br%7D%5Cvec%7BF%7D%29%29%5Cvec%7BF%7D%20%2B%20%5B%5Cvec%7BF%7D%5Ctimes%5Cvec%7Br%7D%5D%5B%5Cvec%7BF%7D%5Ctimes%5Cdot%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%5D%24%24 "$$\frac{dB}{dt} = (\vec{r}(\dot{\vec{r}}\vec{F}) - \dot{\vec{r}}(\vec{r}\vec{F}))\vec{F} + [\vec{F}\times\vec{r}][\vec{F}\times\dot{\vec{r}}]$$")
Первоё слагаемое вроде как равно нулю, a вот, что делать co вторым незнаю!
Задача по классической механике
Добавлено: 17 фев 2009, 12:59
fir-tree
Второе, как я понимаю, равно
![$$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}([\vec{F}\times\vec{r}])^2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%28%5B%5Cvec%7BF%7D%5Ctimes%5Cvec%7Br%7D%5D%29%5E2%24%24 "$$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}([\vec{F}\times\vec{r}])^2$$")
.
Задача по классической механике
Добавлено: 17 фев 2009, 13:02
agent-10
Ну,вообщем, да. Ho его либо вообще должно не быть, либо оно должно быть равным нулю
Задача по классической механике
Добавлено: 17 фев 2009, 14:25
Andre De Pure
He понимаю. Явно эта величина от времени не зависит. Чтобы показать, что это интеграл движения, достаточно взять её и гамильтониан в скобки Пуассона - они должны равняться нулю (нолю?). Разве не так? Запишем гамильтониан, найдём обобщённые импульсы, "прокоммутируем", должно быть громоздко, но решабельно и в итоге красиво... Поле, похоже, центральное, так что c обобщенными координатами проблем быть не должно.
UPD. A нет, не центральное.