Читая "Элегантную вселенную" Брайана Грина.

AlexErm · Сообщение **AlexErm** » 20 фев 2016, 17:55

Мда...А ведь есть еще формула "релятивистского" преобразования временных интервалов!!! Может она подойдет?
$\Delta t=\frac{\Delta t_0+\frac{v}{c^2}\Delta x_0}{\sqrt(1-\frac{v^2}{c^2})}=\frac{15+\frac{29.8}{300000^2}45,9*10^9}{\sqrt(1-\frac{29.8^2}{300000^2})}=\frac{15+15,198}{\sqrt(1-\frac{29.8^2}{300000^2})}=30,198$ сек
Блин, опять облом! Ну как же с помощью СТО получить пресловутые 15 секунд задержки? Кто поможет? В чем ошибка?
Каюсь, я недостаточно хорошо владею "релятивистским" математическим аппаратом.

12d3 · Сообщение **12d3** » 20 фев 2016, 18:26

AlexErm писал(а):Source of the post Каюсь, я недостаточно хорошо владею "релятивистским" математическим аппаратом.

Видимо. Глядя на предыдущие три поста, вспомнилась одна басня Крылова. Формулку для эффекта Допплера попробуйте.

AlexErm · Сообщение **AlexErm** » 20 фев 2016, 19:33

12d3 писал(а):Source of the post
AlexErm писал(а):Source of the post
Каюсь, я недостаточно хорошо владею "релятивистским" математическим аппаратом.Видимо. Глядя на предыдущие три поста, вспомнилась одна басня Крылова. Формулку для эффекта Допплера попробуйте.

Вы, очевидно, из "страны советов", коль советовать так любите, а вот самостоятельно что-либо делать нет. )))
Советуете применить "формулку для эффекта Доплера"? Примените. Буду рад видеть с Вашей стороны хоть какую-нибудь "формулку". А если она будет сопровождаться численным расчтом, то будет вообще замечательно!
Ждем "формулку для эффекта Доплера" в Вашем исполнении. Или только советы давать способны?

12d3 · Сообщение **12d3** » 20 фев 2016, 20:59

AlexErm писал(а):Source of the post Вы, очевидно, из "страны советов", коль советовать так любите, а вот самостоятельно что-либо делать нет.

Это не так, загляните в тему про поезд. Я напишу, если доберусь до компа и мне не будет лень. Придется подождать.

AlexErm · Сообщение **AlexErm** » 21 фев 2016, 12:48

Пока 12d3 занят, может, кто-нибудь другой из владеющих в полной мере математическим аппаратом СТО сможет объяснить c точки зрения этой самой СТО, почему величина вариаций (изменений) наблюдаемого с Земли периода вращения Ио вокруг Юпитера составляет именно 15 секунд?

12d3 · Сообщение **12d3** » 21 фев 2016, 15:07

AlexErm писал(а):Source of the post Ждем "формулку для эффекта Доплера" в Вашем исполнении.

Ну, поехали.
Рассмотрим следующую модель.
В точке $$x=0$$

находится Юпитер со свои спутником. Размером орбиты спутника пренебрежем. В момент времени $$t=0$$

спутник выходит из тени, и в сторону земли полетел свет. Передний фронт света движется согласно уравнению $$x(t)=ct$$

. В этот момент пусть Земля находится на расстоянии $$L$$

от Юпитера и движется со скоростью $$v$$

от него. Т.е. уравнение движения Земли имеет вид $$x(t)=L+vt$$

.
По прошествии времени $$T$$

спутник заходит обратно в тень, и в сторону Земли полетел задний конец нашей "прогтяженной волны", уравнение движения этого конца $$x(t)=c(t-T)$$

.
Задача - найти разницу моментов времени, когда передний фронт и задний фронт достигнут Земли, в системе отсчета Земли. Обозначим эти события как событие 1 и событие 2.
Вначале найдем координаты этих событий в СО Юпитера.
Событие 1:
$\left\{\begin{matrix} x_1=ct_1\\ x_1 = vt_1+L \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1=\frac{L}{c-v}\\ t_1=\frac{cL}{c-v} \end{matrix}\right.$
Событие 2:
$\left\{\begin{matrix} x_2=c(t_2-T)\\ x_2 = vt_2+L \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_2=\frac{c(L+vT)}{c-v}\\ t_2=\frac{L+cT}{c-v} \end{matrix}\right.$
Преобразования Лоренца:
$x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\,\,t'=\frac{t-\frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
Используя ПЛ, найдем временны'е координаты этих событий в СО Земли.
$t_1'=\frac{t_1-\frac{vx_1}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}= \frac{\frac{L}{c-v}-\frac{v\frac{cL}{c-v}}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}= \frac{L}{c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
$t_2'=\frac{t_2-\frac{vx_2}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}= \frac{\frac{L+cT}{c-v}-\frac{v\frac{c(L+vT)}{c-v}}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}= \frac{L+\left ( c+v \right )T}{c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
Соответственно, в СО Земли спутник будет виден в течение времени $T'=t_2'-t_1' = \frac{\left ( c+v \right )T}{c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
Теперь давайте подставлять циферки.
Когда Земля не удаляется и не приближается к Юпитеру, $$v=0$$

и $T'=T=152850\, sec$
Когда Земля удаляется от Юпитера со скоростью 30 км/с, тогда $T'=152865\ sec$
Когда Земля приближвется к Юпитеру со скоростью 30 км/с (т.е. v=-30 км/с), тогда $T'=152835\ sec$
Конец.

AlexErm · Сообщение **AlexErm** » 21 фев 2016, 16:33

12d3 писал(а):Source of the post Ну, поехали.
Рассмотрим следующую модель.
В точке находится Юпитер со свои спутником. Размером орбиты спутника пренебрежем. В момент времени спутник выходит из тени, и в сторону земли полетел свет. Передний фронт света движется согласно уравнению . В этот момент пусть Земля находится на расстоянии от Юпитера и движется со скоростью от него. Т.е. уравнение движения Земли имеет вид .
По прошествии времени спутник заходит обратно в тень, и в сторону Земли полетел задний конец нашей "прогтяженной волны", уравнение движения этого конца .
Задача - найти разницу моментов времени, когда передний фронт и задний фронт достигнут Земли, в системе отсчета Земли. Обозначим эти события как событие 1 и событие 2.
Вначале найдем координаты этих событий в СО Юпитера.
Событие 1:
$\left\{\begin{matrix} x_1=ct_1\\ x_1 = vt_1+L \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1=\frac{L}{c-v}\\ t_1=\frac{cL}{c-v} \end{matrix}\right.$
Событие 2:
$\left\{\begin{matrix} x_2=c(t_2-T)\\ x_2 = vt_2+L \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_2=\frac{c(L+vT)}{c-v}\\ t_2=\frac{L+cT}{c-v} \end{matrix}\right.$
Преобразования Лоренца:
$x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\,\,t'=\frac{t-\frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
Используя ПЛ, найдем временны'е координаты этих событий в СО Земли.
$t_1'=\frac{t_1-\frac{vx_1}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}= \frac{\frac{L}{c-v}-\frac{v\frac{cL}{c-v}}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}= \frac{L}{c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
$t_2'=\frac{t_2-\frac{vx_2}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}= \frac{\frac{L+cT}{c-v}-\frac{v\frac{c(L+vT)}{c-v}}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}= \frac{L+\left ( c+v \right )T}{c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
Соответственно, в СО Земли спутник будет виден в течение времени $T'=t_2'-t_1' = \frac{\left ( c+v \right )T}{c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
Теперь давайте подставлять циферки.
Когда Земля не удаляется и не приближается к Юпитеру, и $T'=T=152850\, sec$
Когда Земля удаляется от Юпитера со скоростью 30 км/с, тогда $T'=152865\ sec$
Когда Земля приближвется к Юпитеру со скоростью 30 км/с (т.е. v=-30 км/с), тогда $T'=152835\ sec$
Конец.

Благодарю.
Для начала позвольте указать на незначительную опечатку в формулах события 1 в СО Юпитера - они (формулы) перепутаны. В дальнейшем у Вас используются верные написания.
Давайте также найдем координаты ${x_1}'$ и ${x_2}'$ , которые, если я правильно понял, являются координатами "встречи" Земли соответственно с передним и задним фронтами волны в СО Земли.
$x_1'=\frac{x_1-vt_1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{\frac{cL}{c-v}-\frac{vL}{c-v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{\frac{(c-v)L}{c-v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{L}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
$x_1'=\frac{L}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
$x_2'=\frac{x_2-vt_2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{\frac{c(L+vT)}{c-v}-\frac{v(L+cT)}{c-v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{\frac{cL+vcT-vL-vcT}{c-v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{\frac{(c-v)L}{c-v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
$x_2'=\frac{L}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
Получается, что координаты начала и конца фронта в СО Земли равны?
Как же найти "длину" волны (расстояние между ее передним и задним фронтами) в СО Земли?

12d3 · Сообщение **12d3** » 21 фев 2016, 21:49

AlexErm писал(а):Source of the post Получается, что координаты начала и конца фронта в СО Земли равны?

Не, это координаты начала и конца в разные моменты времени. Они равны, потому что равны координате Земли, которая в своей СО покоится.

AlexErm писал(а):Source of the post Как же найти "длину" волны (расстояние между ее передним и задним фронтами) в СО Земли?

Давайте я вам набросаю схемку, как эту длину найти, а вычисления проделаете вы (слава богу, в отличие от некоторых, вы можете это делать). Итак, в СО Юпитера у нас известны уравнения движения переднего и заднего фронта:
$x_1(t)=ct,\,\,\,x_2(t)=c(t-T)$
Если вычесть второе из первого, получим как раз протяженность "волны" в СО Юпитера.
$$l(t) = x_1(t)-x_2(t)=cT$$

Как видим, она не зависит от времени, что уже неплохо.
Дальше делаем так: пересчитываем эти два уравнения движения в СО Земли по преобразованиям Лоренца. Если что, пример есть в теме про поезд. И находим разность координат начала и конца уже в СО Земли. Это и будет протяженность "волны" в СО Земли.

AlexErm · Сообщение **AlexErm** » 22 фев 2016, 07:25

Значит, в системе отсчета Юпитера расстояние между фронтами (далее будем назвать для краткости длиной) волны равно:
$$l=cT=299 792 458*152850=45 823 277 205 300$$

метровВ системе отсчета "приближающейся" Земли: $$l'=cT'=299 792 458*152835=45 818 780 318 430$$

метров $\Delta l=l-l'=45823277205300-45818780318430=4 496 886 870$ метровно с другой стороны при переходе в движущуюся СО должно выполняться преобразование лоренца для длин: $l'=l*\sqrt(1-\frac{v^2}{c^2})=45823277205300*\sqrt(1-\frac{29.8^2}{300000^2})=45 823 277 205 299,2464$ метра $\Delta l=l-l'=45823277205300-45 823 277 205 299,2464=0,7536$ метра Для случая "удаляющейся" Земли: $$l'=cT'=299 792 458*152865=45 827 774 092 170$$

метров $\Delta l=l-l'=45823277205300-45 827 774 092 170=-4 496 886 870 <0$ но с другой стороны при переходе в движущуюся СО должно выполняться преобразование лоренца для длин: $l'=l*\sqrt(1-\frac{v^2}{c^2})=45823277205300*\sqrt(1-\frac{29.8^2}{300000^2})=45 823 277 205 299,2464$ метра, что дает те же $\Delta l=l-l'=45823277205300-45 823 277 205 299,2464=0,7536$ метра $$>0$$

Почему?

12d3 · Сообщение **12d3** » 22 фев 2016, 10:28

AlexErm писал(а):Source of the post но с другой стороны при переходе в движущуюся СО должно выполняться преобразование лоренца для длин

Надо понимать, в каких случаях эта формула верна. Если у нас есть две точки, принадлежащие твердому телу, например, конца палки, или просто две различные материальные точки, неподвижные друг относительно друга, то эта формула связывает расстояние между ними в собственной системе отсчета и движущейся. В нашем случае передний и задний фронт движутся со скоростью света, и у них просто нет собственной системы отсчета, в которой они были бы неподвижны. Поэтому эта формула в данном случае не поможет.

yourdomain.com