Задача про маятник

фывапр

Небольшой шарик массы m, подвешенный на нити, отвели в сторону так, что нить образовала прямой угол c вертикалью, и затем отпустили. Найти:
a) модуль полного ускорения шарика и силу натяжения нити как функцию угла ee отклонения от вертикали.
б)... сначала бы разобраться c "a".

можно пользоваться равенством Еп=Ек и получить скорость шарика в зависимости от высоты подъема шарика:
$V=\sqrt{2*g*h}$
$h=R*cos(\alpha)$ R-длина нити, угол - угол нити c вертикалью. И дальше тупик, не могу ничего придумать. Может кто-нибудь подаст идею?

Natrix · Сообщение **Natrix** » 04 ноя 2007, 12:26

фывапр писал(а):Source of the post
Небольшой шарик массы m, подвешенный на нити, отвели в сторону так, что нить образовала прямой угол c вертикалью, и затем отпустили. Найти:
a) модуль полного ускорения шарика и силу натяжения нити как функцию угла ee отклонения от вертикали.
б)... сначала бы разобраться c "a".

можно пользоваться равенством Еп=Ек и получить скорость шарика в зависимости от высоты подъема шарика:
$V=\sqrt{2*g*h}$
$h=R*cos(\alpha)$ R-длина нити, угол - угол нити c вертикалью. И дальше тупик, не могу ничего придумать. Может кто-нибудь подаст идею?

Если нарисовать оси координат c центром в шарике и расположить одну ось по нити, a вторую по касательной к траектории, то очевидно, что

$a_n=\frac {v^2(\alpha)} {L}-g\cos{\alpha}\\a_{\tau}=g\sin{\alpha}\\a(\alpha)=\sqrt{\frac {v^4(\alpha)} {L^2}+g^2-2\frac {v^2(\alpha)} {L}\cos{\alpha}}$

Скорость, как функцию угла найдешь - и будет тебе счастье

SFResid · Сообщение **SFResid** » 05 ноя 2007, 06:08

Natrix писал(а):Source of the post
фывапр писал(а):Source of the post
Небольшой шарик массы m, подвешенный на нити, отвели в сторону так, что нить образовала прямой угол c вертикалью, и затем отпустили. Найти:
a) модуль полного ускорения шарика и силу натяжения нити как функцию угла ee отклонения от вертикали.
б)... сначала бы разобраться c "a".

можно пользоваться равенством Еп=Ек и получить скорость шарика в зависимости от высоты подъема шарика:
$V=\sqrt{2*g*h}$
$h=R*cos(\alpha)$ R-длина нити, угол - угол нити c вертикалью. И дальше тупик, не могу ничего придумать. Может кто-нибудь подаст идею?

Если нарисовать оси координат c центром в шарике и расположить одну ось по нити, a вторую по касательной к траектории, то очевидно, что

$a_n=\frac {v^2(\alpha)} {L}-g\cos{\alpha}\\a_{\tau}=g\sin{\alpha}\\a(\alpha)=\sqrt{\frac {v^4(\alpha)} {L^2}+g^2-2\frac {v^2(\alpha)} {L}\cos{\alpha}}$

Скорость, как функцию угла найдешь - и будет тебе счастье

Тангенциальная составляющая перпендикулярна нити и на её натяжение никак не влияет. Система отсчёта, "привязанная" к нити, неинерциальна; в ней существует центробежная сила m*V^2/R, к которой прибавляется составляющая силы тяжести, параллельная нити, равная m*g*COS(α). По известной формуле, если не извлекать корень, V^2 = 2*g*h = 2*g*R*COS(α), откуда m*V^2/R = 2*m*g*COS(α). Итого 3*m*g*COS(α).

фывапр

Тангенциальная составляющая перпендикулярна нити и на её натяжение никак не влияет. Система отсчёта, "привязанная" к нити, неинерциальна; в ней существует центробежная сила m*V^2/R, к которой прибавляется составляющая силы тяжести, параллельная нити, равная m*g*COS(α). По известной формуле, если не извлекать корень, V^2 = 2*g*h = 2*g*R*COS(α), откуда m*V^2/R = 2*m*g*COS(α). Итого 3*m*g*COS(α).

Про силу все понятно:

$m*g*cos(\alpha)-T+m*a_n=0 \\ m*g*cos(\alpha)+m*\frac {V^2} {R}=T \\ T=m*g*cos(\alpha)+2*m*g*cos(\alpha)$

a вот c ускорением что-то странное происходит:

$V^2=2*g*R*cos(\alpha) \\ a_\tau=g*sin(\alpha) \\ a_n=\frac {V^2} {R} - g*cos(\alpha) \\ a=\sqrt{{a_n}^2+{a_\tau}^2}=\sqrt{\frac {V^4} {R^2}-2*g*\frac {V^2} {R}*cos(\alpha)+g^2*cos(\alpha)^2+g^2*sin(\alpha)^2}= \\ =\sqrt{4*g^2*cos(\alpha)^2-2*g*2*g*cos(\alpha)^2+g^2}=g$

Developer · Сообщение **Developer** » 06 ноя 2007, 17:20

1) Выражение для модуля полного ускорения я уже приводил, уважаемый фывапр, повторю ещё раз: ${|} \vec a + \vec g {|} = \sqrt {{|} \vec a {|}^2 + {|} \vec g {|}^2 + 2 {{|} \vec a {|} \cdot {|} \vec g {|} cos{(}\vec a \vec g {)}}$ .
Только здесь нужно иметь в виду, что линейная скорость движения шарика маятника не является постоянной величиной, a зависит от угла отклонения подвеса (нити) от вертикали, - максимальна в нижней точке и равна нулю в начальной точке колебаний маятника. Вот, если мы её найдём, тогда всё и встанет на свои места.
2) Сила натяжения нити - это сумма (векторная) двух сил: силы тяготения в поле Земли и центробежной силы, действующей на шарик при движении маятника по окружности c радиусом длины подвеса нити.
3) Пытаемся искать зависимость линейной скорости шарика от угла оклонения подвеса от вертикали. Без законов сохранения не обойтись.
Я сам всё делать не буду, но укажу, что и как надо делать.
По закону сохранения $E_k = \frac {m v^2} 2 = mgh = mglcos\alpha = E_p$ .
Отсюда легко найдём выражение для скорости шарика в любой фазе колебания:
$v^2 = 2 glcos\alpha$ .
Дальше уже дело техники...

M	A вот тут у Bac ошибочка, Дивелопер! Это неправильно: $h = lcos\alpha$ и далее $v^2 = 2 glcos\alpha$ . Правильно так: $h = l(1-cos\alpha)$ и далее $v^2 = 2 gl(1-cos\alpha)$ .

A	A вот тут у Bac ошибочка, Дивелопер! Это неправильно: $h = lcos\alpha$ и далее $v^2 = 2 glcos\alpha$ . Правильно так: $h = l(1-cos\alpha)$ и далее $v^2 = 2 gl(1-cos\alpha)$ .

фывапр

так вот где была зарыта собака (!)

yourdomain.com