Зависимость амплитуды волнового пакета от времени

Евгений Быков

Приветствую. Не знаю как посчитать.
Дано:
Волновой пакет $\psi$ образован суперпозицией плоских монохроматических волн с разными частотами в свободном пространстве. Амплитудная функция имеет вид распределения Гаусса $\dpi{120} \psi(\omega ) =a_0 e^{-\frac{(\omega-\omega_0)^{2}}{(\Delta\omega)^{2} }}$ , $a_0,\omega_0,\Delta\omega$ -константы.Найти зависимость пакета амплитуды от времени в точке х=0.
Получить связь между длительностью волнового импульса $\Delta t$ и интервалом частот $\Delta \omega$ .
Решение:
$\Psi (x,t)=\int_{-\infty }^{\infty } \psi(\omega) e^{i(\omega t-k_x x)}\frac{d\omega}{2\pi}=\int_{-\infty }^{\infty }a_0 e^{-\frac{(\omega-\omega_0)^{2}}{(\Delta\omega)^{2} }}e^{i(\omega t-k_x x)}\frac{d\omega}{2\pi}$
$\Psi (0,t)=\int_{-\infty }^{\infty }a_0 e^{-\frac{(\omega-\omega_0)^{2}}{(\Delta\omega)^{2} }}e^{i\omega t}\frac{d\omega}{2\pi}$
Выделил полный квадрат и получил:
$\Psi (0,t)=\int_{-\infty }^{\infty }a_0 e^{-\frac{(\omega-\beta )^{2}}{(\Delta\omega)^{2} }}e^{-\alpha }\frac{d\omega}{2\pi}= a_0 e^{-\alpha } \int_{-\infty }^{\infty } e^{-\frac{(\omega-\beta )^{2}}{(\Delta\omega)^{2} }} \frac{d\omega}{2\pi}$ ,
где $\beta = \omega_0 + \frac{it \Delta\omega^{2}}{2}$
$\alpha= \frac{t^{2}\Delta\omega^{2}}{4}-it\omega_0$
$]x = \omega - \beta \Rightarrow dx=d \omega\Rightarrow a_0 e^{-\alpha } \int_{-\infty }^{\infty } e^{-\frac{x ^{2}}{\Delta\omega^{2} }} \frac{dx}{2\pi} = \frac{a_0 \Delta\omega}{ 2\pi e^{\alpha}} \sqrt{\pi}$
$\dpi{120} \large \Psi(o,t)=\frac{a_0 \Delta \omega \sqrt{\pi} }{2\pi} e^{- \alpha} = \frac{a_0 \Delta \omega \sqrt{\pi} }{2\pi} e^{-\frac{t^{2}\Delta \omega ^{2}}{4}} e^{i\omega_0t}= A(0,t)e^{i\omega_0t}$
$\dpi{120} \large A(0,t)= \frac{a_0 \Delta \omega \sqrt{\pi} }{2\pi} e^{-\frac{t^{2}\Delta \omega ^{2}}{4}}$
Собственно это связь амплитуды и времени. Только в ответе нет $\dpi{120} \large 1/2\pi$ (возможно ли что так как это интеграл Фурье, то 2 $\dpi{120} \large \pi$ исчезнет? )и в экспоненте стоит $\dpi{120} \large - it\omega_0$ , а у меня без минуса . Уже несколько раз пересчитывал, но не нашел просчет.
И я так и не понял как найти зависимость между импульсом и частотами.

student_kiev

Выделить полный квардрат в экспоненте и свести таким образом интеграл к гауссовому.

Евгений Быков

student_kiev писал(а):Source of the post Выделить полный квардрат в экспоненте и свести таким образом интеграл к гауссовому.

Квадрат выделил, но к гауссовому интегралу свести не получается

student_kiev

Евгений Быков писал(а):Source of the post Квадрат выделил, но к гауссовому интегралу свести не получается

Он у вас гауссов и получился относительно $\omega - \beta$ .

Евгений Быков

student_kiev писал(а):Source of the post Он у вас гауссов и получился относительно .

Да, нужно было сделать замену. Спасибо)

yourdomain.com