Приветствую. Не знаю как посчитать.
Дано:
Волновой пакет
![$$\psi$$ $$\psi$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cpsi%24%24)
образован суперпозицией плоских монохроматических волн с разными частотами в свободном пространстве. Амплитудная функция имеет вид распределения Гаусса
![$$\dpi{120} \psi(\omega ) =a_0 e^{-\frac{(\omega-\omega_0)^{2}}{(\Delta\omega)^{2} }}$$ $$\dpi{120} \psi(\omega ) =a_0 e^{-\frac{(\omega-\omega_0)^{2}}{(\Delta\omega)^{2} }}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdpi%7B120%7D%20%5Cpsi%28%5Comega%20%29%20%3Da_0%20e%5E%7B-%5Cfrac%7B%28%5Comega-%5Comega_0%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28%5CDelta%5Comega%29%5E%7B2%7D%20%7D%7D%24%24)
,
![$$a_0,\omega_0,\Delta\omega$$ $$a_0,\omega_0,\Delta\omega$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24a_0%2C%5Comega_0%2C%5CDelta%5Comega%24%24)
-константы.Найти зависимость пакета амплитуды от времени в точке х=0.
Получить связь между длительностью волнового импульса
![$$\Delta t$$ $$\Delta t$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5CDelta%20t%24%24)
и интервалом частот
![$$\Delta \omega$$ $$\Delta \omega$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5CDelta%20%5Comega%24%24)
.
Решение:
![$$\Psi (x,t)=\int_{-\infty }^{\infty } \psi(\omega) e^{i(\omega t-k_x x)}\frac{d\omega}{2\pi}=\int_{-\infty }^{\infty }a_0 e^{-\frac{(\omega-\omega_0)^{2}}{(\Delta\omega)^{2} }}e^{i(\omega t-k_x x)}\frac{d\omega}{2\pi}$$ $$\Psi (x,t)=\int_{-\infty }^{\infty } \psi(\omega) e^{i(\omega t-k_x x)}\frac{d\omega}{2\pi}=\int_{-\infty }^{\infty }a_0 e^{-\frac{(\omega-\omega_0)^{2}}{(\Delta\omega)^{2} }}e^{i(\omega t-k_x x)}\frac{d\omega}{2\pi}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5CPsi%20%28x%2Ct%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%20%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%20%5Cpsi%28%5Comega%29%20e%5E%7Bi%28%5Comega%20t-k_x%20x%29%7D%5Cfrac%7Bd%5Comega%7D%7B2%5Cpi%7D%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%20%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7Da_0%20e%5E%7B-%5Cfrac%7B%28%5Comega-%5Comega_0%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28%5CDelta%5Comega%29%5E%7B2%7D%20%7D%7De%5E%7Bi%28%5Comega%20t-k_x%20x%29%7D%5Cfrac%7Bd%5Comega%7D%7B2%5Cpi%7D%24%24)
![$$\Psi (0,t)=\int_{-\infty }^{\infty }a_0 e^{-\frac{(\omega-\omega_0)^{2}}{(\Delta\omega)^{2} }}e^{i\omega t}\frac{d\omega}{2\pi}$$ $$\Psi (0,t)=\int_{-\infty }^{\infty }a_0 e^{-\frac{(\omega-\omega_0)^{2}}{(\Delta\omega)^{2} }}e^{i\omega t}\frac{d\omega}{2\pi}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5CPsi%20%280%2Ct%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%20%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7Da_0%20e%5E%7B-%5Cfrac%7B%28%5Comega-%5Comega_0%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28%5CDelta%5Comega%29%5E%7B2%7D%20%7D%7De%5E%7Bi%5Comega%20t%7D%5Cfrac%7Bd%5Comega%7D%7B2%5Cpi%7D%24%24)
Выделил полный квадрат и получил:
![$$\Psi (0,t)=\int_{-\infty }^{\infty }a_0 e^{-\frac{(\omega-\beta )^{2}}{(\Delta\omega)^{2} }}e^{-\alpha }\frac{d\omega}{2\pi}= a_0 e^{-\alpha } \int_{-\infty }^{\infty } e^{-\frac{(\omega-\beta )^{2}}{(\Delta\omega)^{2} }} \frac{d\omega}{2\pi}$$ $$\Psi (0,t)=\int_{-\infty }^{\infty }a_0 e^{-\frac{(\omega-\beta )^{2}}{(\Delta\omega)^{2} }}e^{-\alpha }\frac{d\omega}{2\pi}= a_0 e^{-\alpha } \int_{-\infty }^{\infty } e^{-\frac{(\omega-\beta )^{2}}{(\Delta\omega)^{2} }} \frac{d\omega}{2\pi}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5CPsi%20%280%2Ct%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%20%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7Da_0%20e%5E%7B-%5Cfrac%7B%28%5Comega-%5Cbeta%20%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28%5CDelta%5Comega%29%5E%7B2%7D%20%7D%7De%5E%7B-%5Calpha%20%7D%5Cfrac%7Bd%5Comega%7D%7B2%5Cpi%7D%3D%20a_0%20e%5E%7B-%5Calpha%20%7D%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%20%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%20e%5E%7B-%5Cfrac%7B%28%5Comega-%5Cbeta%20%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28%5CDelta%5Comega%29%5E%7B2%7D%20%7D%7D%20%5Cfrac%7Bd%5Comega%7D%7B2%5Cpi%7D%24%24)
,
где
![$$\beta = \omega_0 + \frac{it \Delta\omega^{2}}{2}$$ $$\beta = \omega_0 + \frac{it \Delta\omega^{2}}{2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cbeta%20%3D%20%5Comega_0%20%2B%20%5Cfrac%7Bit%20%5CDelta%5Comega%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%24%24)
![$$\alpha= \frac{t^{2}\Delta\omega^{2}}{4}-it\omega_0$$ $$\alpha= \frac{t^{2}\Delta\omega^{2}}{4}-it\omega_0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Calpha%3D%20%5Cfrac%7Bt%5E%7B2%7D%5CDelta%5Comega%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D-it%5Comega_0%24%24)
![$$\dpi{120} \large \Psi(o,t)=\frac{a_0 \Delta \omega \sqrt{\pi} }{2\pi} e^{- \alpha} = \frac{a_0 \Delta \omega \sqrt{\pi} }{2\pi} e^{-\frac{t^{2}\Delta \omega ^{2}}{4}} e^{i\omega_0t}= A(0,t)e^{i\omega_0t}$$ $$\dpi{120} \large \Psi(o,t)=\frac{a_0 \Delta \omega \sqrt{\pi} }{2\pi} e^{- \alpha} = \frac{a_0 \Delta \omega \sqrt{\pi} }{2\pi} e^{-\frac{t^{2}\Delta \omega ^{2}}{4}} e^{i\omega_0t}= A(0,t)e^{i\omega_0t}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdpi%7B120%7D%20%5Clarge%20%5CPsi%28o%2Ct%29%3D%5Cfrac%7Ba_0%20%5CDelta%20%5Comega%20%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%20%7D%7B2%5Cpi%7D%20e%5E%7B-%20%5Calpha%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Ba_0%20%5CDelta%20%5Comega%20%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%20%7D%7B2%5Cpi%7D%20e%5E%7B-%5Cfrac%7Bt%5E%7B2%7D%5CDelta%20%5Comega%20%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%7D%20e%5E%7Bi%5Comega_0t%7D%3D%20A%280%2Ct%29e%5E%7Bi%5Comega_0t%7D%24%24)
![$$\dpi{120} \large A(0,t)= \frac{a_0 \Delta \omega \sqrt{\pi} }{2\pi} e^{-\frac{t^{2}\Delta \omega ^{2}}{4}}$$ $$\dpi{120} \large A(0,t)= \frac{a_0 \Delta \omega \sqrt{\pi} }{2\pi} e^{-\frac{t^{2}\Delta \omega ^{2}}{4}}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdpi%7B120%7D%20%5Clarge%20A%280%2Ct%29%3D%20%5Cfrac%7Ba_0%20%5CDelta%20%5Comega%20%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%20%7D%7B2%5Cpi%7D%20e%5E%7B-%5Cfrac%7Bt%5E%7B2%7D%5CDelta%20%5Comega%20%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%7D%24%24)
Собственно это связь амплитуды и времени. Только в ответе нет
![$$\dpi{120} \large 1/2\pi$$ $$\dpi{120} \large 1/2\pi$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdpi%7B120%7D%20%5Clarge%201%2F2%5Cpi%24%24)
(возможно ли что так как это интеграл Фурье, то 2
![$$\dpi{120} \large \pi$$ $$\dpi{120} \large \pi$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdpi%7B120%7D%20%5Clarge%20%5Cpi%24%24)
исчезнет? )и в экспоненте стоит
![$$\dpi{120} \large - it\omega_0$$ $$\dpi{120} \large - it\omega_0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdpi%7B120%7D%20%5Clarge%20-%20it%5Comega_0%24%24)
, а у меня без минуса . Уже несколько раз пересчитывал, но не нашел просчет.
И я так и не понял как найти зависимость между импульсом и частотами.