Про катящееся колесо

student_kiev

Mitry писал(а):Source of the post Это как то влияет на уравнение, связывающее момент силы и момент импульса относительно центра масс колеса?

Нет. Уравнение моментов в его привычной форме справедливо и для точки, совпадающей с центром масс, даже если последний движется ускоренно. Более того, уравнение моментов сохраняет форму и в случае, когда за начало берется точка. движущаяся параллельно центру масс. Собственно, поэтому можно писать в данной задаче уравнение моментов относительно точки соприкосновения колеса и наклонной плоскости.

Mitry · Сообщение **Mitry** » 02 июл 2011, 18:02

student_kiev писал(а):Source of the post
Если, например, писать уравнение моментов относительно мгновенной оси, проходящей через точку контакта колеса и плоскости, то ненулевой момент будет иметь только сила тяжести и наоборот, если писать относительно оси, проходящей через центр масс, то "выживает" только момент силы трения. Но в целом да, на наклонной плоскости сила трения устанавливается такой, чтобы движение происходило без проскальзывания.

student_kiev писал(а):Source of the post
Нет. Уравнение моментов в его привычной форме справедливо и для точки, совпадающей с центром масс, даже если последний движется ускоренно. Более того, уравнение моментов сохраняет форму и в случае, когда за начало берется точка. движущаяся параллельно центру масс. Собственно, поэтому можно писать в данной задаче уравнение моментов относительно точки соприкосновения колеса и наклонной плоскости.

Возник такой вопрос про моменты относительно точки соприкосновения колеса и плоскости.
Берем колесо, раскручиваем его до какой-то угловой скорости и ставим на горизонтальную плоскость. Поскольку колесо уже раскручено, то в первое время после постановки на плоскость оно будет проскальзывать. Соответственно в точке контакта будет возникать сила трения. Но если рассматривать моменты относительно точки контакта колеса с плоскостью, то момент этой силы будет нулевой. Момент силы тяжести и силы нормальной реакции опоры относительно этой точки также нулевые. Но угловая скорость вроде бы должна меняться. Вот в этом я пока не разобрался

student_kiev

В этом "патологическом" случае можно спастись (помимо составления уравнения моментов относительно центра масс и движения центра масс, которые решают задачу полностью) законом сохранения момента импульса. В частности, можно написать этот закон относительно точки, на которую первоначально кладут раскрученное колесо (цилиндр, диск). Общее выражение для момента импульса имеет вид
$\displaystyle \mathbf{L}_O = M\mathbf{R} \times \mathbf{V} + \int \mathbf{r}' \times \mathbf{v}' dm$ ,
где $$M$$

--- общая масса системы, $\mathbf{R}$ --- положение ц.м. (отн. начала $$O$$

), $\mathbf{V}$ --- скорость ц.м., $\mathbf{r}'$ и $\mathbf{v}'$ --- радиус-вектора и скорости точек твердого тела относительно центра масс, интегрирование производится по всем объему твердого тела. В случае плоского движения эта формула переходит в
$\displaystyle \mathbf{L}_O = M\mathbf{R} \times \mathbf{V} + (I_{c.m.} \omega) \hat{\mathbf{z}}$
где вектор со шляпкой -- единичный вектор вдоль соответствующей оси.
Пользуясь законом сохранения момента импульса можно найти угловую скорость колеса, которую он приобретет когда начнет катиться без проскальзывания. В частности, для цилиндра эта угловая скорость составляет треть от первоначальной. Проверьте что будет для колеса. Потом полезно сравнить с тем, что дают уравнение моментов относительно ц.м. и уравнение движения центра масс.

Mitry · Сообщение **Mitry** » 03 июл 2011, 17:06

student_kiev писал(а):Source of the post
В этом "патологическом" случае можно спастись (помимо составления уравнения моментов относительно центра масс и движения центра масс, которые решают задачу полностью) законом сохранения момента импульса.
Пользуясь законом сохранения момента импульса можно найти угловую скорость колеса, которую он приобретет когда начнет катиться без проскальзывания.

Действительно, проверил, все получилось. Спасибо за разъяснение

yourdomain.com