Пусть
- коэффициент объёмного изотермического сжатия некоторого вещества, так что при постоянной температуре для любой точки кривой
имеем:
Сам коэффициент
тоже зависит от давления, причём для некоторых веществ эта зависимость в некотором интервале давлений линейна:
Вопрос: можно ли получить выражение для работы расширения/сжатия такого вещества при изотермическом и обратимом изменении внешнего давления над ним от
до
? Начальный (при
) объём тела предполагается известным и равным
. Это не задача и не сессия, меня самого заинтересовал этот вопрос, но я запутался в математике.
Рассуждаю так: из ДУ
получаем:
откуда
![$$V=V_0 \cdot \exp \left[ P_0 (b + \frac{aP_0}{2}) \right] \cdot \exp \left[ -P(b+\frac{aP}{2}) \right] = K\cdot \exp \left[ -P(b+\frac{aP}{2}) \right]. $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24V%3DV_0%20%5Ccdot%20%5Cexp%20%5Cleft%5B%20P_0%20%28b%20%2B%20%5Cfrac%7BaP_0%7D%7B2%7D%29%20%5Cright%5D%20%5Ccdot%20%5Cexp%20%5Cleft%5B%20-P%28b%2B%5Cfrac%7BaP%7D%7B2%7D%29%20%5Cright%5D%20%3D%20K%5Ccdot%20%20%5Cexp%20%5Cleft%5B%20-P%28b%2B%5Cfrac%7BaP%7D%7B2%7D%29%20%5Cright%5D.%20%24%24 "$$V=V_0 \cdot \exp \left[ P_0 (b + \frac{aP_0}{2}) \right] \cdot \exp \left[ -P(b+\frac{aP}{2}) \right] = K\cdot \exp \left[ -P(b+\frac{aP}{2}) \right]. $$")
Работа:
![$$W=\displaystyle\int_{V_0}^{V} P\,dV = -K\int_{P_0}^{P} P\cdot(b+aP)\cdot \exp\left[ -P\left( b+\frac{ap}{2}\right) \right]\,dP.$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24W%3D%5Cdisplaystyle%5Cint_%7BV_0%7D%5E%7BV%7D%20P%5C%2CdV%20%3D%20-K%5Cint_%7BP_0%7D%5E%7BP%7D%20P%5Ccdot%28b%2BaP%29%5Ccdot%20%5Cexp%5Cleft%5B%20-P%5Cleft%28%20b%2B%5Cfrac%7Bap%7D%7B2%7D%5Cright%29%20%5Cright%5D%5C%2CdP.%24%24 "$$W=\displaystyle\int_{V_0}^{V} P\,dV = -K\int_{P_0}^{P} P\cdot(b+aP)\cdot \exp\left[ -P\left( b+\frac{ap}{2}\right) \right]\,dP.$$")
Собственно, проблема в вычислении последнего интеграла (если выражение для него я получил правильно). При
всё тривиально.
