Как называется эта теорема?
Добавлено: 19 окт 2010, 08:56
Как называется теорема o том, что для любого простого числа (кроме 2 и 5) существует бесконечное множество попарно различных репьюнитов, которые делятся на это число? И кто впервые доказал эту теорему (порывшись в Сети, я ничего не нашла)?
He зная названия этой теоремы, я всё же предприняла попытку её доказать:
Возьмём простое число , (только не 2 и не 5) и рассмотрим некоторые попарно различных репьюнитов. По принципу Дирихле, найдутся (хотя бы) два из них, дающие одинаковые остатки при делении на . Вычтем из большего из них меньший и получим число вида . Легко видеть, что делится на . Поскольку 10 взаимно просто c , "откинем" все нули и получим репьюнит, делящийся на . Назовём его . Приписывая к самому себе различное количество раз, будем получать попарно различные репьюниты, делящиеся на . Так как приписывание можно продолжать бесконечно, имеем бесконечное множество попарно различных репьюнитов, делящихся на , что и требовалось доказать.
*Лично мне кажется очевидным, что данная теорема обобщаема на все натуральные числа, не делящиеся на 2 или 5. Доказательство будет почти таким же.
*Если я в чём-то тут ошиблась, буду рада тому, кто меня поправит. Заранее благодарна!
He зная названия этой теоремы, я всё же предприняла попытку её доказать:
Возьмём простое число , (только не 2 и не 5) и рассмотрим некоторые попарно различных репьюнитов. По принципу Дирихле, найдутся (хотя бы) два из них, дающие одинаковые остатки при делении на . Вычтем из большего из них меньший и получим число вида . Легко видеть, что делится на . Поскольку 10 взаимно просто c , "откинем" все нули и получим репьюнит, делящийся на . Назовём его . Приписывая к самому себе различное количество раз, будем получать попарно различные репьюниты, делящиеся на . Так как приписывание можно продолжать бесконечно, имеем бесконечное множество попарно различных репьюнитов, делящихся на , что и требовалось доказать.
*Лично мне кажется очевидным, что данная теорема обобщаема на все натуральные числа, не делящиеся на 2 или 5. Доказательство будет почти таким же.
*Если я в чём-то тут ошиблась, буду рада тому, кто меня поправит. Заранее благодарна!