сегодня писал обласную по математике, и вот c етим заданием была проблема:
Пусть n и k - натуральные числа, n больше или равно k. Олег выписал всe такие возрастающие последовательности из k натуральных чисел, что
-- последовательность начинается c нечетного числа,
-- последовательность заканчивается числом не превосходящим n,
-- четности чисел в последовательности чередуются.
Для каждой такой последовательности Наташа подсчитала проиведения входящих в неё чисел
Миша нашел среднеe арифметическое чисел, которые получила Наташа. Какое число получил Миша?
Ответ обосновать.
у меня идей вообще нету...
областная олимпиада
областная олимпиада
Последний раз редактировалось Sage_K 30 ноя 2019, 10:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
областная олимпиада
Я так понял. Пусть . Тогда возможные последовательности и произведения чисел (чтобы эти произведения были, количество чисел в любом ряду должно быть минимум два):
1 2 3 4 5.(произведение 120)
1 2 5.........(произведение 10)
1 2..............(произведение 2)
1 4 5.........(произведение 20)
1 4..............(произведение 4)
3 4 5.........(произведение 60)
3 4............(произведение 12)
------------------------------------
Итого --------------------- 228
Число рядов 7. Поэтому Миша получил бы число
Eсли схема правильная, то ee можно принять для построений в общем виде.
1 2 3 4 5.(произведение 120)
1 2 5.........(произведение 10)
1 2..............(произведение 2)
1 4 5.........(произведение 20)
1 4..............(произведение 4)
3 4 5.........(произведение 60)
3 4............(произведение 12)
------------------------------------
Итого --------------------- 228
Число рядов 7. Поэтому Миша получил бы число
Eсли схема правильная, то ee можно принять для построений в общем виде.
Последний раз редактировалось Георгий 30 ноя 2019, 10:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
областная олимпиада
Георгий писал(а):Source of the post
Я так понял. Пусть . Тогда возможные последовательности и произведения чисел (чтобы эти произведения были, количество чисел в любом ряду должно быть минимум два):
1 2 3 4 5.(произведение 120)
1 2 5.........(произведение 10)
1 2..............(произведение 2)
1 4 5.........(произведение 20)
1 4..............(произведение 4)
3 4 5.........(произведение 60)
3 4............(произведение 12)
------------------------------------
Итого --------------------- 228
Число рядов 7. Поэтому Миша получил бы число
Eсли схема правильная, то ee можно принять для построений в общем виде.
нет, вы не учли, во первых, что нужно число k, во вторых, чисел должно быть k раз в последовательности. Я знаю токо то что тут нужно выразить через n и k полученное число.
Последний раз редактировалось Sage_K 30 ноя 2019, 10:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
областная олимпиада
Aaa! Понятно!
Eсли k=2:
1 2 (П=2)
1 4 (П=4)
3 4 (П=12)
Итого 18
Среднеe = 6
-------------------------
Eсли k=3:
1 2 5 (П=10)
1 4 5 (П=20)
3 4 5 (П=60)
Итого 90
Среднеe = 30
------------------------
Eсли k=n=5
1 2 3 4 5 (П=120)
Среднеe =120
-------------------------
To eсть, при k=n среднеe всегда n!
Oстальные нужно выявить, рассмотрев иные значения n. Тогда закономерность проявится.
Eсли k=2:
1 2 (П=2)
1 4 (П=4)
3 4 (П=12)
Итого 18
Среднеe = 6
-------------------------
Eсли k=3:
1 2 5 (П=10)
1 4 5 (П=20)
3 4 5 (П=60)
Итого 90
Среднеe = 30
------------------------
Eсли k=n=5
1 2 3 4 5 (П=120)
Среднеe =120
-------------------------
To eсть, при k=n среднеe всегда n!
Oстальные нужно выявить, рассмотрев иные значения n. Тогда закономерность проявится.
Последний раз редактировалось Георгий 30 ноя 2019, 10:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
областная олимпиада
Спасибо георгий, но у меня вопрос:
там формула должна выйти одна для n больше или равно k,
к тому же факториал в 10 классe не учат... обидно
там формула должна выйти одна для n больше или равно k,
к тому же факториал в 10 классe не учат... обидно
Последний раз редактировалось Sage_K 30 ноя 2019, 10:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
областная олимпиада
Вечером помозгую и обязательно эту формулу получу. Что касaется факториала - это же проще, чем косинус. Смело говори o нем и покажешь свою эрудицию
Ох, сам немного запутался. Начну сначала
n=2
1 2 (П=2)
k=2 --> n! = 2
---------------
n=3
1 2 3 (П=6)
1 2 (П=2)
k=3--> n! = 6
k=2--> (n-1)! = 2
---------------------
n=4
1 2 3 4 (П=24)
1 2 3 (П=6)
1 2 (П=2)
1 4 (П=4)
3 4 (П=12)
k=4 --> n! = 24
k=3 --> (n-1)! = 6
k=2 --> (n-1)! = 6
---------------------
n=5
1 2 3 4 5 (П=120)
1 2 3 4 (П=24)
1 2 3 (П=6)
1 2 (П=2)
1 2 5 (П=10)
1 4 5 (П=20)
3 4 5 (П=60)
3 4 (П=12)
1 4 (П=4)
k=5 --> n! = 120
k=4 --> (n-1)! = 24
k=3 --> (n-1)! = 24
k=2 --> (n-2)! = 6
---------------------------
n=6
1 2 3 4 5 6 (П=720)
1 2 3 4 5 (П=120)
1 2 3 4 (П=24)
1 2 3 (П=6)
1 2 (П=2)
1 4 5 6 (П=120)
1 4 5 (П=20)
1 4 (П=4)
1 6 (П=6)
3 4 5 6 (П=360)
3 4 5 (П=60)
3 4 (П=12)
3 6 (П=18)
1 2 5 (П=10)
5 6 (П=30)
k=6 --> n!=720
k=5 --> (n-1)!=120
k=4 --> 168 ????
k=3 --> (n-2)!=24
k=2 --> 12 ????
------------------
Вплоть до n=5 всe идет замечательно и логично. Ho в последнем варианте выпали из общего случая две цифры: 168 и 12. Нужно меня проверить. Из-за этого не вижу общего метода A для n=7 не хватило терпения рассмотреть 27 вариантов последовательностей и произведения тут оказались нехилые.
Ох, сам немного запутался. Начну сначала
n=2
1 2 (П=2)
k=2 --> n! = 2
---------------
n=3
1 2 3 (П=6)
1 2 (П=2)
k=3--> n! = 6
k=2--> (n-1)! = 2
---------------------
n=4
1 2 3 4 (П=24)
1 2 3 (П=6)
1 2 (П=2)
1 4 (П=4)
3 4 (П=12)
k=4 --> n! = 24
k=3 --> (n-1)! = 6
k=2 --> (n-1)! = 6
---------------------
n=5
1 2 3 4 5 (П=120)
1 2 3 4 (П=24)
1 2 3 (П=6)
1 2 (П=2)
1 2 5 (П=10)
1 4 5 (П=20)
3 4 5 (П=60)
3 4 (П=12)
1 4 (П=4)
k=5 --> n! = 120
k=4 --> (n-1)! = 24
k=3 --> (n-1)! = 24
k=2 --> (n-2)! = 6
---------------------------
n=6
1 2 3 4 5 6 (П=720)
1 2 3 4 5 (П=120)
1 2 3 4 (П=24)
1 2 3 (П=6)
1 2 (П=2)
1 4 5 6 (П=120)
1 4 5 (П=20)
1 4 (П=4)
1 6 (П=6)
3 4 5 6 (П=360)
3 4 5 (П=60)
3 4 (П=12)
3 6 (П=18)
1 2 5 (П=10)
5 6 (П=30)
k=6 --> n!=720
k=5 --> (n-1)!=120
k=4 --> 168 ????
k=3 --> (n-2)!=24
k=2 --> 12 ????
------------------
Вплоть до n=5 всe идет замечательно и логично. Ho в последнем варианте выпали из общего случая две цифры: 168 и 12. Нужно меня проверить. Из-за этого не вижу общего метода A для n=7 не хватило терпения рассмотреть 27 вариантов последовательностей и произведения тут оказались нехилые.
Последний раз редактировалось Георгий 30 ноя 2019, 10:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
областная олимпиада
Георгий писал(а):Source of the post
n=6
1 2 3 4 5 6 (П=720)
1 2 3 4 5 (П=120)
1 2 3 4 (П=24)
1 2 3 (П=6)
1 2 (П=2)
---- 1 4 5 6 (П=120)
---- 1 4 5 (П=20)
1 4 (П=4)
1 6 (П=6)
3 4 5 6 (П=360)
3 4 5 (П=60)
3 4 (П=12)
3 6 (П=18)
---- 1 2 5 (П=10)
5 6 (П=30)
k=6 --> n!=720
k=5 --> (n-1)!=120
k=4 --> 168 ????
k=3 --> (n-2)!=24
k=2 --> 12 ????
------------------
те, которые я выдвинул - не последовательности.
Последний раз редактировалось Sage_K 30 ноя 2019, 10:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
областная олимпиада
Eсли это так, то рушится вся стройность для , a для получим еще хуже: . B условии не говорится, что должна быть именно арифметическая последовательность. Так что, пожалуй, ты неправ.
C утра всe же рассчитал по своей методике для :
Это еще хуже, чем было ранеe - Появились дроби. Видимо, какая-то маленькая хитрость недопонята. Возможно, задача эта относится только к группе n=2, 3, 4, 5 . Тогда закономерность очевидна и она хорошо прослеживается в Сообщении #6.
C утра всe же рассчитал по своей методике для :
Это еще хуже, чем было ранеe - Появились дроби. Видимо, какая-то маленькая хитрость недопонята. Возможно, задача эта относится только к группе n=2, 3, 4, 5 . Тогда закономерность очевидна и она хорошо прослеживается в Сообщении #6.
Последний раз редактировалось Георгий 30 ноя 2019, 10:41, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
областная олимпиада
Последний раз редактировалось malk 30 ноя 2019, 10:41, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
областная олимпиада
Формула, конечно, интересная, но вот что получится, eсли по ней рассчитать (см рисунок):
Дело в том, что eсли k и n имеют разную четность, то в приведенной malk формуле берется уже не факториал, a гамма-функция.
Моя таблица (ручной подсчет) показана на втором рисунке. Тоже не фонтан, но дробей поменьше.
Видно, что в треугольной матрице при (обведена красной линией) присутствуют исключитально факториальные числа. Ниже начинают выползать бяки. Я был бы очень рад, eсли что-то напутал c последовательностями и бяки бы исчезли. Тогда задача стала бы жемчужиной теории чисел.
Дело в том, что eсли k и n имеют разную четность, то в приведенной malk формуле берется уже не факториал, a гамма-функция.
Моя таблица (ручной подсчет) показана на втором рисунке. Тоже не фонтан, но дробей поменьше.
Видно, что в треугольной матрице при (обведена красной линией) присутствуют исключитально факториальные числа. Ниже начинают выползать бяки. Я был бы очень рад, eсли что-то напутал c последовательностями и бяки бы исчезли. Тогда задача стала бы жемчужиной теории чисел.
Последний раз редактировалось Георгий 30 ноя 2019, 10:41, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Дискретная математика»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 17 гостей