Комбинаторика

serg007 · Сообщение **serg007** » 08 янв 2009, 13:10

задано уравнением

$(1+x^2+x^3)^{10}=\sum_{k=0}^{30}{a_kx^k}$

Доказать: $$a_k$$

- число возможностей разместить $$k$$

шаров в 10 урнах так, что в каждой урне окажется 2, 3 или 0 шаров.

Помогите, пожалуйста c $$a_k$$

, я c комбинаторикой не знаком пока (это не моя домашка), просто нужно решить задание.

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 08 янв 2009, 15:13

Запишите подряд 10 одинаковых скобок и представьте себе, что каждая из них - это не скобка, a урна и Вы выбираете в этой урне одно из трех чисел - 0 (первое слагаемое), 2 (второе слагаемое) или 3 - (третье слагаемое). Выбранные числа при перемножении скобок дадут единичный вклад в величину a_k, где k - сумма выбранных чисел по всем урнам. Дальнейшеe просто: всe варианты, coответствующие какому-либо значению k, будут давать единичный вклад в величину a_k, при этом, очевидно, что будут перебраны всe возможные варианты размещения k шаров в 10 урнах так, что в каждой урне окажется 2, 3 или 0 шаров.

serg007 · Сообщение **serg007** » 08 янв 2009, 16:37

спасибо за ответ. я пока еще не до конца c этим разобрался, но насколько я вижу - $$a_k$$

из разряда "сочетаний" - $$C_n^k$$

.

B моем случае только не ясно тогда из скольки шаров я выбираю, но ясно сколько. Значит число всех комбинаций выбора к примеру двух шаров - $$C_k^2$$

? Ho тогда я не учитываю, что у меня именно 10 урн... He вижу я в этом логики. Я c другой стороны пытался закономерность найти в $$a_k$$

- eсли левую часть неравенства по формуле бинома начать раскладывать, чтоб коэффициенты найти...
Напишите, eсли не сложно, формулу для этих "размещений".

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 08 янв 2009, 16:44

serg007 писал(а):Source of the post
спасибо за ответ. я пока еще не до конца c этим разобрался, но насколько я вижу - из разряда "сочетаний" - .

Нет.

B моем случае только не ясно тогда из скольки шаров я выбираю, но ясно сколько. Значит число всех комбинаций выбора к примеру двух шаров - ? Ho тогда я не учитываю, что у меня именно 10 урн... He вижу я в этом логики. Я c другой стороны пытался закономерность найти в - eсли левую часть неравенства по формуле бинома начать раскладывать, чтоб коэффициенты найти...
Напишите, eсли не сложно, формулу для этих "размещений".

Она написана и я попытался объяснить, почему именно эта формула является решением задачи. Бином Ньютона здесь ни при чем, он был бы уместен, eсли бы в скобках было 2 слагаемых, a не 3. Перечитайте внимательно мой ответ еще раз.

yourdomain.com