Счетно ли множество действительных чисел?

[Купуте]

Source of the post Теперь надо думать, что с такой записью делать, куда можно приткнуть.

"Не надо думать, с нами тот, кто всё за нас решит". И этот "тот" - теория p-адических чисел.
У автора получаемые из верхней таблицы числа - это p-аические числа при p=10.
Теория p-адических чисел достаточно сложна для простого изложения на форуме даже основ.
Ошибка автора в рассуждении о счётности действительных чисел в том, что верхняя таблица не есть массив всех натуральных чисел, она вообще не является чем-либо, пока в ней не определена метрика. В нижней таблице есть метрика, это обсолютная величина, в верхней никакой метрики нет.
Если на пальцах, то парадокс верхней таблицы в том, что мы можем утверждать, да, она представляет все натураьные числа, но не можем утверждать, что в ней нет лишних элементов - парадокс бесконечности. Введя p-адическую метрику, парадокс исчезает и легко доказывается, что множество p-адических чисел не счётно.
Множество p-адических чисел и есть верхняя таблица. Она содержит в качестве подмножества множество всех натуральнных чисел.
 

[mersenne]

Интересная арифметика.
Если A - число состоящее из бесконечного числа 1, то умножив на 10 и прибавив 1 получим тоже самое число.

[ARRY]

Source of the post Интересная арифметика. Если A - число состоящее из бесконечного числа 1, то умножив на 10 и прибавив 1 получим тоже самое число.

Телепатия. Только что подумал о том же.

[Купуте]

Source of the post Интересная арифметика. Если A - число состоящее из бесконечного числа 1, то умножив на 10 и прибавив 1 получим тоже самое число.

И здесь в рассуждении та же ошибка. Число состоящее из бесконечного числа единиц не есть число. Это просто строка из бесконечного числа единиц и к её нельзя умножить на 10 и прибавить ещё единицу по арифметическим правилам, а числа состоящего из бесконечного числа единиц не существует, его нельзя задать никакими средствами арифметики. У бесконечной строки нет и последнего элемента. В p-адических числах эта операция вполне допустима, только равенства начального и исходного чисел не будет.

[buratino.2016]

Source of the post
 

Source of the post

Потому как мы получили их с помощью одной и той же таблицы и одной и той же операции.Э, нет, уважаемый buratino.2016, это Вы смухлевали. Это не одна и та же таблица. Вы же её перевернули вверх ногами. В 1-й таблице разряд находится в нижней строке таблицы, во второй же таблице разряд находится вверху. Поэтому, таки-да, любому произвольному натуральному числу в таблице будет соответствовать лишь одно действительное число отрезка [0,1]. Но столь же очевидно, что далеко не любому произвольному вещественному числу из вышеуказанного отрезка будет однозначно соответствовать лишь одно натуральное число.

 

Source of the post

существует и биективное отображение самих множеств друг на друга и их мощности равны.Нет здесь никакой биекции. Что же касается доказательства по индукции, то, как это ни смешно, Вы даже базы индукции построить не сможете.

То, что я перевернул таблицу- это лишь для наглядности и различения процессов образования действительных и натуральных чисел. Я могу пользоваться идентичной таблицей с тем - же успехом.  Это не мухлеж, а конвенция или определение объектов над которыми выполняются операции.
Ну, пусть на Ваш взгляд никакой биекции нет, но я вижу ее отчетливо. А по поводу построения базы индукции Вы конечно правы, подготовки у меня нет.

[buratino.2016]

Source of the post
 

Source of the post

Теперь надо думать, что с такой записью делать, куда можно приткнуть."Не надо думать, с нами тот, кто всё за нас решит". И этот "тот" - теория p-адических чисел.
У автора получаемые из верхней таблицы числа - это p-аические числа при p=10.
Теория p-адических чисел достаточно сложна для простого изложения на форуме даже основ.
Ошибка автора в рассуждении о счётности действительных чисел в том, что верхняя таблица не есть массив всех натуральных чисел, она вообще не является чем-либо, пока в ней не определена метрика. В нижней таблице есть метрика, это обсолютная величина, в верхней никакой метрики нет.
Если на пальцах, то парадокс верхней таблицы в том, что мы можем утверждать, да, она представляет все натураьные числа, но не можем утверждать, что в ней нет лишних элементов - парадокс бесконечности. Введя p-адическую метрику, парадокс исчезает и легко доказывается, что множество p-адических чисел не счётно.
Множество p-адических чисел и есть верхняя таблица. Она содержит в качестве подмножества множество всех натуральнных чисел.

 

Source of the post
 

Source of the post

Интересная арифметика. Если A - число состоящее из бесконечного числа 1, то умножив на 10 и прибавив 1 получим тоже самое число.И здесь в рассуждении та же ошибка. Число состоящее из бесконечного числа единиц не есть число. Это просто строка из бесконечного числа единиц и к её нельзя умножить на 10 и прибавить ещё единицу по арифметическим правилам, а числа состоящего из бесконечного числа единиц не существует, его нельзя задать никакими средствами арифметики. У бесконечной строки нет и последнего элемента. В p-адических числах эта операция вполне допустима, только равенства начального и исходного чисел не будет.

Ничто не мешает доопределить операцию прибавления 1 к бесконечности.

[buratino.2016]

Да, возникают парадоксы, но нет ли их в классической теории множеств?

[mersenne]

Source of the post Это просто строка из бесконечного числа единиц и к её нельзя умножить на 10

 бесконечное число единиц и на конце ноль. Почему бы и нет.

[Dredd]

Source of the post бесконечное число единиц и на конце ноль. Почему бы и нет.

Потому что у бесконечного числа единиц есть начало и нет конца. А ноль в конце предполагает конечное число единиц, ибо встать он может только за последней единицей, да и сам завершает ряд. Поэтому, умножая бесконечное число единиц на 10, получаем конечное число.

[mersenne]

Source of the post Потому что у бесконечного числа единиц есть начало и нет конца. А ноль в конце предполагает конечное число единиц, ибо встать он может только за последней единицей, да и сам завершает ряд. Поэтому, умножая бесконечное число единиц на 10, получаем конечное число.

Это у кольца нет начала и конца. А у нас столбик. В начале - единицы, десятки, сотни и т.д Умножение на 10: единицы становятся десятками, десятки сотнями и т.д Количество единиц - ноль. Вот и умножbли. Что не так?