Счетно ли множество действительных чисел?

[buratino.2016]

Кстати, идея этого равенства не моя, а почерпнута отсюда http://sibac.info/20031, я лишь  обосновал ее. А обсуждалась она со всевозможными нападками и даже угрозами "профессоров" в адрес авторов здесь: http://www.mathforum.ru/forum/read/1/85450/, хотя на самом деле идея здравая.

[buratino.2016]

mersenne, целью данного сообщения не было  установление отношений порядка между числами. Целью было показать равенство можностей множеств. Порядок обычно вводится на следующем этапе -аксиоматически. Я не думал пока над этим.

[12d3]

Source of the post Натуральное число, состоящее из бесконечного множества единиц во всех разрядах будет равно \sum_{i=0}^ {\infty}{10^{i}}.

А что, этот ряд сходится? Необходимый признак сходимости рядов можете сформулировать?

[mersenne]

Если нет соотношений ( и по куче других прицин), то те не натуральные числа.
На самом деле предложена другая запись действительных чисел. Теперь надо думать, что с такой записью делать, куда можно приткнуть.
Пока показано, что любое действительно число можно так записать. И все.

[mersenne]

Натуральные числа можно сосчитать. Можно сосчитать ваши "натуральные" числа? Как?
 

[buratino.2016]

Source of the post Если нет соотношений ( и по куче других прицин), то те не натуральные числа.
На самом деле предложена другая запись действительных чисел. Теперь надо думать, что с такой записью делать, куда можно приткнуть.
Пока показано, что любое действительно число можно так записать. И все.

Source of the post Натуральные числа можно сосчитать. Можно сосчитать ваши "натуральные" числа? Как?

 

Можно установить порядок на множестве и пожалуйста, считайте. Хотябы также как обычные натуральные числа. Таким же образом можно установить порядок и на множестве действительных чисел и каждому одному действительному числу отрезка [0,1] сопоставить во взаимнооднозначное соответствие натуральное число.

[mersenne]

Source of the post Можно установить порядок на множестве и пожалуйста, считайте.

Установите, плиз.

[buratino.2016]

Вы согласны, что данная таблица и операция построения в ней действительных или натуральных чисел, единственным образом позволяет представить любое натуральное число и любое действительное число? При этом очевидно, что любому произвольному натуральному числу в таблице будет соответствовать однозначно лишь  одно действительное число отрезка [0,1]. Потому как мы получили их с помощью одной и той же таблицы и одной и той же операции. Отсюда также очевидно, что если существует взаимнооднозначное соответствие между элементами множеств, то существует и биективное отображение самих множеств друг на друга и их мощности равны. Здесь можно использовать индукцию, например.
А всё это строго обосновать и доказать я предоставлю Вам, уважаемый mersenne, поскольку Вы проявили наибольший интерес к теме и в сравнении со мной  обладаете более развитыми навыками в решении подобных задач. Также могут попробовать свои силы  и другие заинтересованные участники.

 

[mersenne]

Source of the post При этом очевидно, что любому произвольному натуральному числу в таблице будет соответствовать однозначно лишь одно действительное число отрезка [0,1].

  В одну сторону очевидно. В другую не очень.

Source of the post Отсюда также очевидно, что если существует взаимнооднозначное соответствие между элементами множеств, то существует и биективное отображение самих множеств друг на друга и их мощности равны.

Кому очевидно?

Source of the post А всё это строго обосновать и доказать я предоставлю Вам

Я не смогу доказать недоказуемое. Придется все делать автору. Пока доказательства нет.

[ARRY]

Source of the post Потому как мы получили их с помощью одной и той же таблицы и одной и той же операции.

Э, нет, уважаемый buratino.2016, это Вы смухлевали. Это не одна и та же таблица. Вы же её перевернули вверх ногами. В 1-й таблице разряд находится в нижней строке таблицы, во второй же таблице разряд находится вверху. Поэтому, таки-да, любому произвольному натуральному числу в таблице будет соответствовать лишь одно действительное число отрезка [0,1]. Но столь же очевидно, что далеко не любому произвольному вещественному числу из вышеуказанного отрезка будет однозначно соответствовать лишь одно натуральное число.

Source of the post существует и биективное отображение самих множеств друг на друга и их мощности равны.

Нет здесь никакой биекции. Что же касается доказательства по индукции, то, как это ни смешно, Вы даже базы индукции построить не сможете.