Страница 2 из 5
Счетно ли множество действительных чисел?
Добавлено: 21 янв 2016, 08:24
buratino.2016
Кстати, идея этого равенства не моя, а почерпнута отсюда
http://sibac.info/20031, я лишь обосновал ее. А обсуждалась она со всевозможными нападками и даже угрозами "профессоров" в адрес авторов здесь: http://www.mathforum.ru/forum/read/1/85450/, хотя на самом деле идея здравая.
Счетно ли множество действительных чисел?
Добавлено: 21 янв 2016, 08:28
buratino.2016
mersenne, целью данного сообщения не было установление отношений порядка между числами. Целью было показать равенство можностей множеств. Порядок обычно вводится на следующем этапе -аксиоматически. Я не думал пока над этим.
Счетно ли множество действительных чисел?
Добавлено: 21 янв 2016, 08:39
12d3
buratino.2016 писал(а):Source of the post Натуральное число, состоящее из бесконечного множества единиц во всех разрядах будет равно \sum_{i=0}^ {\infty}{10^{i}}.
А что, этот ряд сходится? Необходимый признак сходимости рядов можете сформулировать?
Счетно ли множество действительных чисел?
Добавлено: 21 янв 2016, 08:40
mersenne
Если нет соотношений ( и по куче других прицин), то те не натуральные числа.
На самом деле предложена другая запись действительных чисел. Теперь надо думать, что с такой записью делать, куда можно приткнуть.
Пока показано, что любое действительно число можно так записать. И все.
Счетно ли множество действительных чисел?
Добавлено: 21 янв 2016, 08:47
mersenne
Натуральные числа можно сосчитать. Можно сосчитать ваши "натуральные" числа? Как?
Счетно ли множество действительных чисел?
Добавлено: 21 янв 2016, 08:54
buratino.2016
mersenne писал(а):Source of the post Если нет соотношений ( и по куче других прицин), то те не натуральные числа.
На самом деле предложена другая запись действительных чисел. Теперь надо думать, что с такой записью делать, куда можно приткнуть.
Пока показано, что любое действительно число можно так записать. И все.
Можно установить порядок на множестве и пожалуйста, считайте. Хотябы также как обычные натуральные числа. Таким же образом можно установить порядок и на множестве действительных чисел и каждому одному действительному числу отрезка [0,1] сопоставить во взаимнооднозначное соответствие натуральное число.
Счетно ли множество действительных чисел?
Добавлено: 21 янв 2016, 08:57
mersenne
Счетно ли множество действительных чисел?
Добавлено: 21 янв 2016, 09:26
buratino.2016
Вы согласны, что данная таблица и операция построения в ней действительных или натуральных чисел, единственным образом позволяет представить любое натуральное число и любое действительное число? При этом очевидно, что любому произвольному натуральному числу в таблице будет соответствовать однозначно лишь одно действительное число отрезка [0,1]. Потому как мы получили их с помощью одной и той же таблицы и одной и той же операции. Отсюда также очевидно, что если существует взаимнооднозначное соответствие между элементами множеств, то существует и биективное отображение самих множеств друг на друга и их мощности равны. Здесь можно использовать индукцию, например.
А всё это строго обосновать и доказать я предоставлю Вам, уважаемый mersenne, поскольку Вы проявили наибольший интерес к теме и в сравнении со мной обладаете более развитыми навыками в решении подобных задач. Также могут попробовать свои силы и другие заинтересованные участники.
Счетно ли множество действительных чисел?
Добавлено: 21 янв 2016, 09:42
mersenne
buratino.2016 писал(а):Source of the post При этом очевидно, что любому произвольному натуральному числу в таблице будет соответствовать однозначно лишь одно действительное число отрезка [0,1].
В одну сторону очевидно. В другую не очень.
buratino.2016 писал(а):Source of the post Отсюда также очевидно, что если существует взаимнооднозначное соответствие между элементами множеств, то существует и биективное отображение самих множеств друг на друга и их мощности равны.
Кому очевидно?
Я не смогу доказать недоказуемое. Придется все делать автору. Пока доказательства нет.
Счетно ли множество действительных чисел?
Добавлено: 21 янв 2016, 10:11
ARRY
Э, нет, уважаемый
buratino.2016, это Вы смухлевали. Это не одна и та же таблица. Вы же её перевернули вверх ногами. В 1-й таблице разряд
находится в нижней строке таблицы, во второй же таблице разряд
находится вверху. Поэтому, таки-да, любому произвольному натуральному числу в таблице будет соответствовать лишь одно действительное число отрезка [0,1]. Но столь же очевидно, что далеко не любому произвольному вещественному числу из вышеуказанного отрезка будет однозначно соответствовать лишь одно натуральное число.
Нет здесь никакой биекции. Что же касается доказательства по индукции, то, как это ни смешно, Вы даже базы индукции построить не сможете.