Площадь между огибающими
Площадь между огибающими
С заочной олимпиады. От равностороннего треугольника AВС единичной площади можно отрезать треугольник площади 1/3 прямолинейным разрезом. Заметим, что некоторые точки треугольника AВС никогда не будут находиться в отрезанной части. Найти S - площадь множества таких точек.
Вообще-то кривая, касательные к которой отсекают от данного угла треугольник постоянной площади -это ветвь гиперболы, с асимптотами -сторонами этого угла. И что, школьников заставляют найти площадь криволинейного треугольника между тремя гиперболами? У меня пока не посчиталась.
Вообще-то кривая, касательные к которой отсекают от данного угла треугольник постоянной площади -это ветвь гиперболы, с асимптотами -сторонами этого угла. И что, школьников заставляют найти площадь криволинейного треугольника между тремя гиперболами? У меня пока не посчиталась.
Площадь между огибающими
Попробовал в лоб посчитать интеграл, выходит
Что совпадает примерно с вычислительным экспериментом, когда строим численно много таких отрезков и численно ищем площадь внутри.
Не знаю, что они от школьников хотели. Интеграл можно взять, но как-то выкладок много...
Что совпадает примерно с вычислительным экспериментом, когда строим численно много таких отрезков и численно ищем площадь внутри.
Не знаю, что они от школьников хотели. Интеграл можно взять, но как-то выкладок много...
Площадь между огибающими
Ну а путь? Я колебался между двумя путями, но ни один не довел
1. Находить S/6 мнтегрированием, возможно в полярных координатах
2. Так как данная площадь не меняется при линейных преобразованиях, искать S/6 для прямоугольного равнобедренного треугольника единичной площади , в декартовых кооррдинатах. Но один из углов криволинейного треугольника непонятно куда уйдет при линейном преобразовании. Например, он не находится на пересечении тримедиан, так как касательные к гиперболе делятся точкой касания пополам, а тримедианы делятся в точке пересечения в отношении 3:2, поэтому не имеют общих точек с искомым множеством.
3) тогда кстати третий путь -задать ограничивающую гиперболу параметрически, как множество середин секущих отрезков, через параметр t- длина одной из сторон отсекаемого треугольника
1. Находить S/6 мнтегрированием, возможно в полярных координатах
2. Так как данная площадь не меняется при линейных преобразованиях, искать S/6 для прямоугольного равнобедренного треугольника единичной площади , в декартовых кооррдинатах. Но один из углов криволинейного треугольника непонятно куда уйдет при линейном преобразовании. Например, он не находится на пересечении тримедиан, так как касательные к гиперболе делятся точкой касания пополам, а тримедианы делятся в точке пересечения в отношении 3:2, поэтому не имеют общих точек с искомым множеством.
3) тогда кстати третий путь -задать ограничивающую гиперболу параметрически, как множество середин секущих отрезков, через параметр t- длина одной из сторон отсекаемого треугольника
Площадь между огибающими
Я просто в лоб делал. Нашел квадратичную форму для гиперболы (одной из трёх) в исходных координатах, где треугольник равностороний.
Потом интегрировал в прямоугольных координатих для . Удобнее было интегрировать параллельно ближайшей стороне, так что надо было добавить ещё площадь треугольника до центра.
И всё. Только выкладок много для бумаги. Я делал на компьютере в wxMaxima.
Судя по ответу, там по любому должен возникнуть интеграл .
Возможно олимпиадность в том, что его можно как-то попроще получить. Может в полярных координатах будет короче.
Ещё идея, что может вместо рассмотреть общий случай с параметром. Может там дифур получится соорудить. Граничные значения легко находятся. Если решить дифур, то получится и значение для параметра .
Потом интегрировал в прямоугольных координатих для . Удобнее было интегрировать параллельно ближайшей стороне, так что надо было добавить ещё площадь треугольника до центра.
И всё. Только выкладок много для бумаги. Я делал на компьютере в wxMaxima.
Судя по ответу, там по любому должен возникнуть интеграл .
Возможно олимпиадность в том, что его можно как-то попроще получить. Может в полярных координатах будет короче.
Ещё идея, что может вместо рассмотреть общий случай с параметром. Может там дифур получится соорудить. Граничные значения легко находятся. Если решить дифур, то получится и значение для параметра .
Последний раз редактировалось zykov 04 сен 2021, 13:16, всего редактировалось 1 раз.
Площадь между огибающими
Ian писал(а):Source of the post Так как данная площадь не меняется при линейных преобразованиях
Правильнее - отношение площадей не меняется.
Сама то площадь изменится, если детерминант не равен 1.
Площадь между огибающими
рассмотрим гиперболу, ближайшую к левому нижнему углу основания, а длина основания [math]. Спрашивается, какова касательная к ней в точке с абсциссой [math], и где она пересекает основание? Ведь ближе точки [math]?
Площадь между огибающими
Я для простоты беру сторону треугольника равной 1 (потом уже площадь делю в конце).
Треугольник , так что снизу горизонтально основание слева направо.
Да, она левее точки пересечет основание.
Прямоугольные координаты имеют центр в точке . Ось идёт к . Ось идёт вверх.
Тогда левая нижняя гипербола имеет уравнение:
Если рассмотреть равносторонний треугольник с площадью в 3 раза меньше и вершиной в , то центр противоположенной стороны будет касатся вершины гиперболы. Координата этой точки - подходит в это уравнение. Эта точка - один из пределов интегрирования.
Другой предел интегрирования - точка .
Треугольник , так что снизу горизонтально основание слева направо.
Ian писал(а):Source of the post касательная к ней в точке с абсциссой a/2, и где она пересекает основание?
Да, она левее точки пересечет основание.
Прямоугольные координаты имеют центр в точке . Ось идёт к . Ось идёт вверх.
Тогда левая нижняя гипербола имеет уравнение:
Если рассмотреть равносторонний треугольник с площадью в 3 раза меньше и вершиной в , то центр противоположенной стороны будет касатся вершины гиперболы. Координата этой точки - подходит в это уравнение. Эта точка - один из пределов интегрирования.
Другой предел интегрирования - точка .
Площадь между огибающими
Вот кстати, через вектора покороче получается и менее топорно, чем через прямоугольные координаты.
По прежнему сторона равна 1, центр отсчёта в точке , базисные вектора и .
Один конец отрезка равен , второй равен , где - параметр, .
Т.к. точка касания делит отрезок пополам, то эта точка - точка кривой - равна .
Один конец сектора "одна шестая площади" возникает в .
Второй конец там, где эта кривая (мы знаем, что это гипербола) пересекает высоту/медиану из на (нижняя точка).
Т.е. . Значит .
Центр треугольника равен . Значит вектор из центра до точки кривой равен .
По мере того как растёт, скорость заметания площади вектором равна .
Векторное произведение даёт вектор, но здесь он имеет только одну ненулевую компоненту вдоль . Её и будем рассматривать.
Учитывая что и получим:
Тогда искомая площадь равна:
По прежнему сторона равна 1, центр отсчёта в точке , базисные вектора и .
Один конец отрезка равен , второй равен , где - параметр, .
Т.к. точка касания делит отрезок пополам, то эта точка - точка кривой - равна .
Один конец сектора "одна шестая площади" возникает в .
Второй конец там, где эта кривая (мы знаем, что это гипербола) пересекает высоту/медиану из на (нижняя точка).
Т.е. . Значит .
Центр треугольника равен . Значит вектор из центра до точки кривой равен .
По мере того как растёт, скорость заметания площади вектором равна .
Векторное произведение даёт вектор, но здесь он имеет только одну ненулевую компоненту вдоль . Её и будем рассматривать.
Учитывая что и получим:
Тогда искомая площадь равна:
Площадь между огибающими
Любопытен график этой площади от :
Я то думал, что он при занулится, а он раньше зануляется при .
Впрочем это очевидно, что зануляется, когда с трёх углов равносторонние треугольники со строной .
Я то думал, что он при занулится, а он раньше зануляется при .
Впрочем это очевидно, что зануляется, когда с трёх углов равносторонние треугольники со строной .
Площадь между огибающими
zykov писал(а):Source of the post Т.к. точка касания делит отрезок пополам
Это легко видно, если рассмотреть точки и на , и точки и на , так чтобы треугольники и имели требуемые площади.
Тогда из площадей будет , т.е. треугольники и подобны, значит и параллельны.
Устремим к и к , сохраняя условие по площади. Тогда точка пересечения и устремится к точке касания на (т.к. она находится на ломаной между точками касания на и на , а вторая точка касания будет стремится к первой).
В трапеции оба основания по величине стремятся к , значит "трапеция стремится к параллелограму". У параллелограма диагонали делятся пополам точкой пересечения. Значит точка пересечения и стремится к центру , т.е. точка касания находится в центре.
Площадь между огибающими
zykov писал(а):Source of the post
Можно упростить до .
Площадь между огибающими
Тут даже проще [math]-площадь не меняется только если точка пересечения отрезков близка к их серединам, но она заведомо близка и к обоим точкам касанияzykov писал(а):zykov писал(а):Source of the post Т.к. точка касания делит отрезок пополам
Это легко видно, если рассмотреть точки и на , и точки и на , так чтобы треугольники и имели требуемые площади.
Тогда из площадей будет , т.е. треугольники и подобны, значит и параллельны.
Устремим к и к , сохраняя условие по площади. Тогда точка пересечения и устремится к точке касания на (т.к. она находится на ломаной между точками касания на и на , а вторая точка касания будет стремится к первой).
В трапеции оба основания по величине стремятся к , значит "трапеция стремится к параллелограму". У параллелограма диагонали делятся пополам точкой пересечения. Значит точка пересечения и стремится к центру , т.е. точка касания находится в центре.
Площадь между огибающими
zykov писал(а):Тогда искомая площадь равна:
Подставляю [math] получается решение такой задачи:
От равностороннего треугольника AВС единичной площади можно отрезать треугольник площади 1/2 прямолинейным разрезом. Заметим, что некоторые точки треугольника AВС всегда будут находиться в отрезанной части. Найти S - площадь множества таких точек (невыпуклого криволинейного треугольника между тремя гиперболами)
Получилось
[math]. Тоже можно задать на студенческой олимпиаде 1го курса
Площадь между огибающими
Ian писал(а):Source of the postнекоторые точки треугольника AВС всегда будут находиться в отрезанной части
Боюсь, так оно не работает.
Если провести отрезок из вершины, то он поделит на две части половинной площади.
Точка находится либо в одной половине, либо в другой (не считая границы с нулевой мерой). Т.е. эта точка не будет "всегда находится в отрезанной части".
Да, исходный смысл формула сохраняет только до . Дальше она его теряет.
Можно найти какой-то другой смысл, но не такой.
Площадь между огибающими
Ian писал(а):Source of the post(невыпуклого криволинейного треугольника между тремя гиперболами)
Видимо это множество точек лежащих сразу внутри трёх треугольников, соответствующим трём вершинам.
В том плане, что для точки существует тройка таких треугольников.
Площадь между огибающими
Три гиперболы при k=1/2 касаются попарно. Вот площадь треугольника между ними и получилась по формуле. С отрезанием треугольников, согласен, тут уже мало связи
Площадь между огибающими
Насчет точек, которые всегда в отрезанной части, то до их нет.
При это одна точка - центр треугольника.
А после уже будет конечная площадь, но формула другая.
При это одна точка - центр треугольника.
А после уже будет конечная площадь, но формула другая.
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 6 гостей