Задача "Заяц и лиса"

zykov
Сообщений: 1147
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Задача "Заяц и лиса"

Сообщение zykov » 03 июн 2021, 23:18

Вспомнилась такая старая забавная задача про зайца и лису.
Может конечно она знакома. Но если незнакома, то можно поломать голову. :)

В нулевой момент заяц выбегает из точки $(0,0)$ и бежит с постоянной скоростью $u$ вдоль оси $X$.
А лиса выбегает из точки $(0,L)$ и бежит с постоянной по абсолютной величине скорость $v$ строго по направлению к зайцу (в текущий момент).
Вопросы:
  1. Если $v=u$, то через большой промежуток времени лиса будет бежать за зайцем почти по оси $X$. Какое будет (в пределе) расстояние между лисой и зайцем?
  2. Если $v>u$, то лиса догонит зайца за конечное время. За какое время лиса догонит зайца?

peregoudov
Сообщений: 603
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Задача "Заяц и лиса"

Сообщение peregoudov » 04 июн 2021, 11:09

Знакомая, знакомая. Но задачка хорошая, очень многоплановая, так что пообсуждать можно.

zykov
Сообщений: 1147
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Задача "Заяц и лиса"

Сообщение zykov » 04 июн 2021, 20:10

Я то решение знаю. Вот может Ian хочет попробовать?
(Тут физики по сути то нет, одна математика.)

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 791
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Задача "Заяц и лиса"

Сообщение Ian » 08 июн 2021, 10:50

"Квант", начало 70-х. Там предпринята попытка объяснить решение для равных скоростей школьникам, никакого интеграла не видевшим. В системе отсчета "заяц" вектор скорости лисы складывается из двух равных -назад вдоль оси движения зайца и направленного к началу координат. Тогда есть идея, что расстояния до прямой x=-L и начала координат будут убывать с равной скоростью, а в начале они были равные, значит движение по параболе с фокусом в начале координат и директрисой x=-L, предельное расстояние L/2 при приближении к вершине параболы
Попробуем обобщить. В системе отсчета зайца уравнение движения
[math]
Как бы решить без координат, ни полярных ни прямоугольных

zykov
Сообщений: 1147
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Задача "Заяц и лиса"

Сообщение zykov » 09 июн 2021, 09:58

Там решение довольно простое.
Обозначим точку зайца - $A$, точку лисы - $B$, точку проекции $B$ на ось $X$ - $C$.
Угол при $A$ в этом прямоугольном треугольнике обозначим - $\alpha$.
И рассмотрим скорости изменения длин $|AB|=d_1$ и $|AC|=d_2$.

$d_1$ растёт со скоростью $u\cos\alpha$ (проекция скорости зайца на это направление) и убывает со скоростью $v$ (скорость лисы направлена вдоль). Итого $\dot{d_1} = u\cos\alpha - v$.
$d_2$ растёт со скоростью $u$ (скорость зайца направлена вдоль) и убывает со скоростью $v\cos\alpha$ (проекция скорости лисы на это направление). Итого $\dot{d_2} = u - v\cos\alpha$.

Если $u=v$, то $\dot{d_1} = u(\cos\alpha - 1) = -\dot{d_2}$. Т.е. $d_1+d_2$ не меняется. Вначале было $d_1=L$ и $d_2=0$. В пределе будет $d_1=d_2$, значит $d_1=d_2=L/2$.

Если $v>u$, то $\dot{d_1} v = u v \cos\alpha - v^2$ и $\dot{d_2}u=u^2 - u v \cos\alpha$.
Значит $$\frac{d}{dt} (d_1 v + d_2 u) = u^2 - v^2$$.
Т.е. $d_1 v + d_2 u$ убывает с постоянной скорость независящей от $\alpha$.
Вначале эта сумма была $L v$, вконце она равна $0$.
Значит время равно $$\frac{L v}{v^2 - u^2}$$.

zykov
Сообщений: 1147
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Задача "Заяц и лиса"

Сообщение zykov » 09 июн 2021, 10:04

Мне вот любопытно, в чём причина такой простоты?
Вроде саму траекторию аналитически не найти. При этом некоторые интегральные характеристики находятся довольно легко.
Есть некоторая аналогия с интегралами движения. Но те про динамику, а тут только кинематика.
Интересно, какое математическое свойство системы даёт эту простоту и как это можно обобщить?

peregoudov
Сообщений: 603
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Задача "Заяц и лиса"

Сообщение peregoudov » 11 июн 2021, 08:57

Нашел я то старое обсуждение на Дубине. Условия --- в сообщении #32, обсуждение решения начинается с #42 и заканчивается где-то примерно на #98.

Уравнение траектории нетрудно найти в общем случае. Поскольку формулы на Дубине сейчас не работают, фактически перепишу оттуда.
Вводим полярную систему координат с центром в зайце. Угол отсчитываем от направления движения зайца в сторону лисы. Тогда, проецируя относительную скорость на радиальное и азимутальное направления, найдем

$$ \dot r=-(v+u\cos\phi),\quad r\dot\phi=u\sin\phi, $$

откуда сразу получаем уравнение траектории

$$ \frac{dr}r=-\frac{(v+u\cos\phi)\,d\phi}{u\sin\phi}. $$

Интегрируя

$$ \ln r=-\frac vu\ln\tg\frac\phi2-\ln\sin\phi+\textrm{const}. $$

При u=v получается парабола

$$ r=\frac{\textrm{const}}{2\sin^2\frac\phi2}=\frac{\textrm{const}}{1-\cos\phi}. $$

zykov
Сообщений: 1147
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Задача "Заяц и лиса"

Сообщение zykov » 11 июн 2021, 09:59

Я так понимаю, кривая траектории всё же находится аналитически.
Но траекторя, как функция положения от времени - не находится.
А эту параболу можно получить как-то ещё проще?
Нужно в прямоугольных попробовать. (Правда это только при $u=v$.)

zykov
Сообщений: 1147
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Задача "Заяц и лиса"

Сообщение zykov » 11 июн 2021, 10:29

zykov писал(а):Source of the post Я так понимаю, кривая траектории всё же находится аналитически.

Понятно.
Это только с СО зайца она находится.
В исходной СО не найти (не зная зависимости от времени).

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 791
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Задача "Заяц и лиса"

Сообщение Ian » 11 июн 2021, 11:45

peregoudov писал(а):Нашел я то старое обсуждение на Дубине.

А говорят, что рэп-батлы это мода последних лет. они просто на дубине не бывали. но может и правда некоторым студентам/студенткам так проще запоминать научные идеи? мне точно ннет

peregoudov
Сообщений: 603
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Задача "Заяц и лиса"

Сообщение peregoudov » 11 июн 2021, 14:03

На мой взгляд, тут аналогия хромает. Правильной была бы аналогия, где два рэпера обмениваются находками, а вокруг жужжит толпа импотентов. Вот обычная модель обсуждения на форумах.


Вернуться в «Физика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 3 гостей