Двусторонняя оценка вероятности одновременного наступления событий
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Двусторонняя оценка вероятности одновременного наступления событий
Для независимых событий , , ... вероятность из одновременного наступления просто равна произведению вероятностей отдельных событий . А как построить двустороннюю оценку , если события не являются независимыми?
Двусторонняя оценка вероятности одновременного наступления событий
Минимум [math] равен 0, если противоположными событиями можно покрыть все вероятностное пространство, то есть [math]. В противном случае он равен [math]- минимальная мера, которая будет не покрыта противоположными событиями.
Максимум [math] равен [math] -вероятности наименее вероятного события в системе.А остальные события могут включать в себя это и не повлияют на вероятность
Максимум [math] равен [math] -вероятности наименее вероятного события в системе.А остальные события могут включать в себя это и не повлияют на вероятность
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Двусторонняя оценка вероятности одновременного наступления событий
Ничего не понял... Можно написать априорные оценки, зависящие только от ?
Двусторонняя оценка вероятности одновременного наступления событий
Вы хотели узнать насколько близко [math] к [math]. Я предположил что числа [math] даны, но о независимости никакой информации нет. Тогда задача на экстремумы , макс и мин.[math] имеет вот такие решения, откуда можно вывести и экстремум разности.
А что же еще предполагать "данными параметрами"? Или задача вообще без данных?
А что же еще предполагать "данными параметрами"? Или задача вообще без данных?
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Двусторонняя оценка вероятности одновременного наступления событий
Ну, давайте я поясню на примере двух событий.
Пусть --- n-значное двоичное число (маска наступления событий) и пусть --- вероятность того, что k-ое событие наступило, если , и не наступило, если . Имеем
В случае двух событий у нас есть , , и , причем
а интересует нас величина
Получается классическая задача нелинейного программирования на тетраэдре
Нетрудно убедиться, что градиент нигде не обращается в нуль, так что максимум/минимум достигаются на поверхности тетраэдра. Рассматривая линии уровня на гранях тетраэдра, приходим к выводу, что минимум достигается при , и равен -1/4, а максимум достигается при , и равен 1/4. То есть в данном случае
.
Хочется распространить эту оценку на произвольные n. Вот так в лоб через нелинейное программирование будет затруднительно, нужны вероятностные соображения.
Я не вижу, как из ваших рассуждений получить хотя бы вот эти .
Пусть --- n-значное двоичное число (маска наступления событий) и пусть --- вероятность того, что k-ое событие наступило, если , и не наступило, если . Имеем
В случае двух событий у нас есть , , и , причем
а интересует нас величина
Получается классическая задача нелинейного программирования на тетраэдре
Нетрудно убедиться, что градиент нигде не обращается в нуль, так что максимум/минимум достигаются на поверхности тетраэдра. Рассматривая линии уровня на гранях тетраэдра, приходим к выводу, что минимум достигается при , и равен -1/4, а максимум достигается при , и равен 1/4. То есть в данном случае
.
Хочется распространить эту оценку на произвольные n. Вот так в лоб через нелинейное программирование будет затруднительно, нужны вероятностные соображения.
Я не вижу, как из ваших рассуждений получить хотя бы вот эти .
Двусторонняя оценка вероятности одновременного наступления событий
Да, другая модель, но кажется с ростом n эти "универсальные границы " приблизятся к естественным пределам от -1 до 1 и не будут информативны
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Двусторонняя оценка вероятности одновременного наступления событий
Есть предположение, что в общем случае решение устроено примерно так же, как для n=2. Максимум достигается при ненулевых и и нулевых всех остальных вероятностях, равен он (максимум функции ).
Минимум же достигается при ненулевых (то есть отличны от нуля лишь вероятности наступления всех событий, кроме одного, k-ого) и нулевых всех остальных вероятностях и равен . Последний при увеличении n к единице вовсе не стремится.
Минимум же достигается при ненулевых (то есть отличны от нуля лишь вероятности наступления всех событий, кроме одного, k-ого) и нулевых всех остальных вероятностях и равен . Последний при увеличении n к единице вовсе не стремится.
Двусторонняя оценка вероятности одновременного наступления событий
Оба "предположения" можно строго получить. Для максимизации разности можно сначала максимизировать зависимость величин друг от друга, то есть свести к 0 все случаи, когда одно событие случается а другое нет. и останутся только два ненулевых, которые у Вас.
Для минимизации (сначала при постоянных вероятностях каждого события) , как уже говорил, противоположные события не должны пересекаться вовсе, то есть вероятности с индексами, в которых два и более нулей- отсутствовать. Обозначим далее ваше [math], и мы еще не уверены, должна ли быть нулевой [math] , но получающаяся функция n переменных по каждому из [math] имеет неположительные частные производные, значит для минимизации каждую из этих переменных можно увеличивать за счет [math] и та станет равна 0, а дальше максимум произведения при постоянной сумме будет при равенстве. И действительно границы убывающие до [math] но это же тоже очень много
Для минимизации (сначала при постоянных вероятностях каждого события) , как уже говорил, противоположные события не должны пересекаться вовсе, то есть вероятности с индексами, в которых два и более нулей- отсутствовать. Обозначим далее ваше [math], и мы еще не уверены, должна ли быть нулевой [math] , но получающаяся функция n переменных по каждому из [math] имеет неположительные частные производные, значит для минимизации каждую из этих переменных можно увеличивать за счет [math] и та станет равна 0, а дальше максимум произведения при постоянной сумме будет при равенстве. И действительно границы убывающие до [math] но это же тоже очень много
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 1 гость