Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца
Утащил с dxdy, где ничего путного не написали и даже немного наговорили глупостей. А задачка мне показалась интересной.
Найти сферически-симметричные решения уравнения
--- трехмерный лапласиан. Пусть n будет натуральным и нечетным. В линейном случае n=1, например, решениями являются и . Будут ли решения при других n похожи на эти?
Найти сферически-симметричные решения уравнения
--- трехмерный лапласиан. Пусть n будет натуральным и нечетным. В линейном случае n=1, например, решениями являются и . Будут ли решения при других n похожи на эти?
Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца
[math]
[math]
Именно при [math] имеется однородное решение [math], проверяемое подстановкой. Про другие решения не думал
[math]
Именно при [math] имеется однородное решение [math], проверяемое подстановкой. Про другие решения не думал
Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца
При это решение вырождается в .
Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца
[math]
[math] случай с n=3 наиболее мутный
[math] случай с n=3 наиболее мутный
Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца
На википедии такое есть: Lane–Emden equation.
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца
Ну вот и на dxdy наибольшие терки были по поводу n=3... Википедия --- это не спортивно. На мой взгляд, тут довольно элементарными методами можно исследовать качественное поведение решений при любых n. Первый шаг Ian уже фактически сделал.
Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца
На вики написано, что аналитические решения есть только для .
Там видимо имеется ввиду граничное условие (конечное), .
(Без потери общности при можно положить просто изменяя масштаб и .)
Решения Ian в нуле стремятся к бесконечности при , так что не подходят.
Так что, можно уточнить, что имеется ввиду?
Аналитических там больше нет.
В виде ряда легко представить. Нечётные производные равны нулю, и дальше производные 4ой, 6ой и т.д. степеней в нуле находятся из того же уравнения.
Там видимо имеется ввиду граничное условие (конечное), .
(Без потери общности при можно положить просто изменяя масштаб и .)
Решения Ian в нуле стремятся к бесконечности при , так что не подходят.
Так что, можно уточнить, что имеется ввиду?
peregoudov писал(а):Source of the post Найти сферически-симметричные решения уравнения
Аналитических там больше нет.
В виде ряда легко представить. Нечётные производные равны нулю, и дальше производные 4ой, 6ой и т.д. степеней в нуле находятся из того же уравнения.
Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца
Замена независимой переменной [math] упрощает уравнение. А что узнать-то хотели
[math]
[math]
Последний раз редактировалось Ian 18 апр 2021, 05:22, всего редактировалось 1 раз.
Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца
Вроде при при больших оно похоже на .
В нуле он .
В нуле он .
Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца
Кажется. кроме n=3 они осциллирующие
https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... %29%29%5E5
А при n=3 осциллируют не все
https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... %29%29%5E3
https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... %29%29%5E5
А при n=3 осциллируют не все
https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... %29%29%5E3
Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца
Вроде нечётные осцилируют, а чётные нет.
3: https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... Bf%5E3%3D0
4: https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... Bf%5E4%3D0
3: https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... Bf%5E3%3D0
4: https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... Bf%5E4%3D0
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца
Я думаю, следует прежде всего ставить задачу качественного исследование решений. Если этого не сделано, то и разложение построить не получится. А качественно исследовать мы хорошо умеем автономные уравнения...
Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца
zykov писал(а):Source of the post Вроде при при больших оно похоже на .
Если сделать замену переменных и , то уравнение будет .
Если предположить, что - что-то вроде синуса, амплитуда которого не слишком быстро убывает (чтобы падал не слишком быстро), то можно оставить только .
Тут решение конечно не синус (из-за куба), но на него похоже.
Тоже что-то периодическое с постоянной амплитудой.
(Нелинейные колебания на пружине, где возвращающая сила пропорциональна кубу сдвига. Потенциальная яма 4-ой степени.)
Нестационарная сила линейного отталкивания даёт малый вклад. Возможно как-то несильно и повлияет на амплитуду.
Для линейной по скорости силы трения коэффициент трения линейно падает по времени.
За один период она отъест энергии.
Т.е. по идее энергия должна падать как (тут правда в отличии от линейного осцилятора может быть не пропорционален энергии - нужно проверить).
Тогда амплитуда будет падать как .
Т.е. для амплитуда будет падать не как , а как .
Ну и частота осциляций будет менятся, т.к. для нелинейного осцилятора период колебаний зависит от амплитуды.
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца
На самом деле тут нужна другая замена переменных. Ее идея состоит в рассмотрении того масштабного преобразования, которое оставляет уравнение инвариантным: , . Если перейти к переменным , , то в новых переменных преобразование принимает вид , . То есть в новых переменных уравнение будет инвариантным относительно сдвига , другими словами, автономным. В явном виде
Отсюда сразу видно, чем выделен случай n=5: получается нелинейный маятник с потенциалом в форме "жопы Лифшица". Решение Ian'а соответствует одному из минимумов, а указанное в википедии --- сепаратрисе.
Отсюда сразу видно, чем выделен случай n=5: получается нелинейный маятник с потенциалом в форме "жопы Лифшица". Решение Ian'а соответствует одному из минимумов, а указанное в википедии --- сепаратрисе.
Последний раз редактировалось peregoudov 21 апр 2021, 09:45, всего редактировалось 2 раз.
Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца
peregoudov писал(а):Source of the post На самом деле тут нужна другая замена переменных.
Какая замена нужна - зависит от целей...
Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца
zykov писал(а):Source of the post (тут правда в отличии от линейного осцилятора может быть не пропорционален энергии - нужно проверить).
Есть подозрение, что для такого осцилятора пропорционально энергии в степени . Тогда энергия падает до 0 за конечное время (хотя это время и растёт экспоненциально).
Тогда правда слагаемое может помешать занулению.
Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца
Да, если вернутся к исходному уравнению , то это тот же осцилятор в поле 4-ой степени с линейным по скорости трением (коэффициент трения падает как "-1" степень со временем).
Форма осциляций само собой негармоническая.
Амплитуда падает как , т.е. падает до 0 за конечное время (экспоненциальное по начальной амплитуде). По мере падения амплитуды период колебаний растёт как "-1" степень амплитуды. Т.е. возможно нуля оно и не достигнет, если период колебаний уйдёт в бесконечность.
Всё же пока не понятно, как оно приближается к нулю на бесконечности при этом загадочном ...
Форма осциляций само собой негармоническая.
Амплитуда падает как , т.е. падает до 0 за конечное время (экспоненциальное по начальной амплитуде). По мере падения амплитуды период колебаний растёт как "-1" степень амплитуды. Т.е. возможно нуля оно и не достигнет, если период колебаний уйдёт в бесконечность.
Всё же пока не понятно, как оно приближается к нулю на бесконечности при этом загадочном ...
Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца
Тут вот в чём может быть дело.
Сам результат основан на усреднении потери энергии на трение по одному периоду.
Для этого сам период должен быть малым, чтобы за один период терялась малая доля энергии.
Но если при малой амплитуде период становится большим, то это уже не верно.
Т.е. нужно анализировать детальнее при малой амплитуде.
Сам результат основан на усреднении потери энергии на трение по одному периоду.
Для этого сам период должен быть малым, чтобы за один период терялась малая доля энергии.
Но если при малой амплитуде период становится большим, то это уже не верно.
Т.е. нужно анализировать детальнее при малой амплитуде.
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца
Я, конечно, не претендую на точную оценку при , но грубую сделать нетрудно. При n=3 уравнение в моих переменных принимает вид
При этом . Функцией Ляпунова для такого уравнения, очевидно, будет . Имеем , а потому . Значит . То есть при больших r имеем .
Гораздо труднее оценить поведение при .
При этом . Функцией Ляпунова для такого уравнения, очевидно, будет . Имеем , а потому . Значит . То есть при больших r имеем .
Гораздо труднее оценить поведение при .
Сферически симметричные решения нелинейного уравнения Гельмгольца
Тоже решил посмотреть в Ваших переменных.
Тут тот же нелинейный осцилятор в яме 4-ой степени. Только теперь "антитрение" линейное по скорости с постоянным коэффициентом трения.
Это "антитрение" будет разгонять осцилятор. Энергия должна расти как , значит амплитуда и частота будут расти как .
Значит приближение с усреднением по одному периоду должно работать хорошо.
Тогда получается , где - это единичные колебания осцилятора .
Тут тот же нелинейный осцилятор в яме 4-ой степени. Только теперь "антитрение" линейное по скорости с постоянным коэффициентом трения.
Это "антитрение" будет разгонять осцилятор. Энергия должна расти как , значит амплитуда и частота будут расти как .
Значит приближение с усреднением по одному периоду должно работать хорошо.
Тогда получается , где - это единичные колебания осцилятора .
Последний раз редактировалось zykov 21 апр 2021, 16:31, всего редактировалось 1 раз.
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 3 гостей